Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи нам нужно определить максимальное значение квадратичной функции, описывающей зависимость поступлений от налоговой ставки. Давайте подробно разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Формулировка функции
Согласно условию, мы знаем несколько точек на графике функции поступления в бюджет в зависимости от налоговой ставки. Обозначим ставку налога за \( x \), а поступления в бюджет в миллиардах фантиков за \( P \). Мы имеем следующие точки (ставка налога в процентах, поступления):
- \( (10, 1.3) \)
- \( (33, 1.3) \)
- \( (27, 1.6) \)
На основе этого мы можем предположить, что зависимость поступления \( P \) можно выразить как квадратичную функцию:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
Шаг 2: Составление системы уравнений
Так как у нас есть три точки, мы можем подставить их в нашу функцию, предоставив 3 уравнения. Для упрощения, давайте преобразуем миллиарды фантиков в целые числа:
- \( P(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \) (1)
- \( P(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \) (2)
- \( P(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \) (3)
Теперь подставим значения:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Шаг 3: Упростим систему уравнений
Теперь вычтем (1) из (2) и (3) для упрощения системы:
Из (2) - (1): \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b + (c - c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \qquad (4) \]
Из (3) - (1): \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b + (c - c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \qquad (5) \]
Теперь подставим \( b = -\frac{989}{23}a \) из уравнения (4) в (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \]
Шаг 4: Решение уравнения
Теперь можно решить это уравнение относительно \( a \):
\[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] Переведем в общий знаменатель: \[ \frac{629 \times 23 a - 16813 a}{23} = 0.3 \] \[ \frac{14467a - 16813a}{23} = 0.3 \] \[ \frac{-2346a}{23} = 0.3 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \]
Подставив значение \( a \) обратно в (4), можем найти \( b \):
\[ 989 \left(-0.00294\right) + 23b = 0 \] \[ 23b = 2.91 \] \[ b \approx 0.1265 \]
Теперь, возвращаясь в (1) или (2), можем найти \( c \):
\[ 100(-0.00294) + 10(0.1265) + c = 1.3 \] \[ -0.294 + 1.265 + c = 1.3 \Rightarrow c = 1.3 - 0.971 = 0.329 \]
Таким образом, у нас есть:
\[ P(x) = -0.00294x^2 + 0.1265x + 0.329 \]
Шаг 5: Нахождение максимума
Для нахождения максимума квадратичной функции используем координаты вершин параболы, которые можно найти по формуле:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем найденные значения:
\[ x_{max} = -\frac{0.1265}{2 \times (-0.00294)} \approx 21.5 \]
Таким образом, максимальная ставка налога, которая приведет к максимальным поступлениям, составляет около 21.5%.
Ответ
Максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, приводящая к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет 21.5%.
