Чтобы найти значение производной функции ( f(x) = 4 \cos(4x) ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{16} ), следуем следующему алгоритму:
Шаг 1: Найти производную функции
Функция, которую мы рассматриваем, — это произведение константы и косинуса. Обозначим:
[ f(x) = 4 \cos(4x) ]
Чтобы найти производную функции ( f(x) ), будем использовать правило производной для функции косинуса. Производная косинуса выглядит следующим образом:
[
\frac{d}{dx} \cos(kx) = -k \sin(kx)
]
где ( k ) — это коэффициент перед ( x ).
В нашем случае ( k = 4 ), поэтому производная будет равна:
[
f'(x) = 4 \cdot \frac{d}{dx} \cos(4x) = 4 \cdot (-4 \sin(4x)) = -16 \sin(4x)
]
Шаг 2: Подставить значение ( x_0 )
Теперь найдем значение производной в точке ( x_0 = \frac{\pi}{16} ):
[
f'\left(\frac{\pi}{16}\right) = -16 \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = -16 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
]
Шаг 3: Найти значение синуса
Мы знаем, что:
[
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Теперь подставим это значение в нашу формулу:
[
f'\left(\frac{\pi}{16}\right) = -16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -8 \sqrt{2}
]
Ответ
Таким образом, значение производной функции ( f(x) = 4 \cos(4x) ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{16} ) равно:
[
f'\left(\frac{\pi}{16}\right) = -8 \sqrt{2}
]
