найти значение производной функции f(x)=1в 4 сos4х в точке х0=п16

Чтобы найти значение производной функции \( f(x) = 4 \cos(4x) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{16} \), следуем следующему алгоритму:

Шаг 1: Найти производную функции

Функция, которую мы рассматриваем, — это произведение константы и косинуса. Обозначим: \[ f(x) = 4 \cos(4x) \]

Чтобы найти производную функции \( f(x) \), будем использовать правило производной для функции косинуса. Производная косинуса выглядит следующим образом: \[ \frac{d}{dx} \cos(kx) = -k \sin(kx) \] где \( k \) — это коэффициент перед \( x \).

В нашем случае \( k = 4 \), поэтому производная будет равна: \[ f'(x) = 4 \cdot \frac{d}{dx} \cos(4x) = 4 \cdot (-4 \sin(4x)) = -16 \sin(4x) \]

Шаг 2: Подставить значение \( x_0 \)

Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = \frac{\pi}{16} \): \[ f'\left(\frac{\pi}{16}\right) = -16 \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = -16 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Шаг 3: Найти значение синуса

Мы знаем, что: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим это значение в нашу формулу: \[ f'\left(\frac{\pi}{16}\right) = -16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -8 \sqrt{2} \]

Ответ

Таким образом, значение производной функции \( f(x) = 4 \cos(4x) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{16} \) равно: \[ f'\left(\frac{\pi}{16}\right) = -8 \sqrt{2} \]