Найти S правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4?

Для нахождения площади (S) правильного треугольника, если известен радиус вписанной в него окружности (r), можно использовать следующую формулу:

\[ S = \frac{a \cdot r}{2} \]

где:

• \( S \) — площадь треугольника,
• \( a \) — длина стороны треугольника,
• \( r \) — радиус вписанной окружности.

Для правильного треугольника существует другая формула, которая связывает сторону треугольника и радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Теперь мы можем выразить сторону треугольника через радиус вписанной окружности:

1. Из формулы для радиуса вписанной окружности выразим сторону \( a \):

\[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r \]

2. Подставим \( r = 4 \):

\[ a = 2\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3} \]

3. Теперь мы можем найти площадь \( S \) с помощью первой формулы:

\[ S = \frac{a \cdot r}{2} = \frac{(8\sqrt{3}) \cdot 4}{2} = \frac{32\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь правильного треугольника с радиусом вписанной окружности 4 равна:

\[ \boxed{16\sqrt{3}} \]