Найти S правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4?

Для нахождения площади (S) правильного треугольника, если известен радиус вписанной в него окружности (r), можно использовать следующую формулу: \[ S = \frac{a \cdot r}{2} \] где: - \( S \) — площадь треугольника, - \( a \) — длина стороны треугольника, - \( r \) — радиус вписанной окружности. Для правильного треугольника существует другая формула, которая связывает сторону треугольника и радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Теперь мы можем выразить сторону треугольника через радиус вписанной окружности: 1. Из формулы для радиуса вписанной окружности выразим сторону \( a \): \[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r \] 2. Подставим \( r = 4 \): \[ a = 2\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3} \] 3. Теперь мы можем найти площадь \( S \) с помощью первой формулы: \[ S = \frac{a \cdot r}{2} = \frac{(8\sqrt{3}) \cdot 4}{2} = \frac{32\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \] Таким образом, площадь правильного треугольника с радиусом вписанной окружности 4 равна: \[ \boxed{16\sqrt{3}} \]