В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см мень ше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой Пифагора. ### Шаг 1: Обозначим стороны треугольника 1. Обозначим гипотенузу (самую длинную сторону) как \( c \) см. 2. Пусть первый катет, который на 3 см меньше гипотенузы, будет равен \( a = c - 3 \) см. 3. Пусть второй катет, который на 6 см меньше гипотенузы, будет равен \( b = c - 6 \) см. ### Шаг 2: Применяем теорему Пифагора Напомним, что для любого прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] ### Шаг 3: Подставим значения Теперь подставим выражения для \( a \) и \( b \) в уравнение теоремы Пифагора: \[ (c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2 \] ### Шаг 4: Раскроем скобки Раскроем скобки в левом уравнении: \[ (c - 3)^2 = c^2 - 6c + 9 \] \[ (c - 6)^2 = c^2 - 12c + 36 \] Теперь подставим эти результаты обратно в уравнение: \[ (c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2 \] ### Шаг 5: Объединим подобные слагаемые Соберем все термины на левой стороне: \[ c^2 - 6c + 9 + c^2 - 12c + 36 = c^2 \] Упростим левую часть: \[ 2c^2 - 18c + 45 = c^2 \] ### Шаг 6: Переносим все члены в одну сторону Переносим \( c^2 \) влево: \[ 2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0 \] Это упростится до: \[ c^2 - 18c + 45 = 0 \] ### Шаг 7: Решаем квадратное уравнение Теперь используем дискриминант для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -18 \), \( c = 45 \): \[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 \] Теперь найдем корни уравнения по формуле: \[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ c = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{18 \pm 12}{2} \] ### Шаг 8: Находим значения \( c \) Теперь решим два случая: 1. \( c = \frac{30}{2} = 15 \) см 2. \( c = \frac{6}{2} = 3 \) см (это значение не может быть гипотенузой) Таким образом, значение гипотенузы: \[ c = 15 \text{ см} \] ### Ответ Гипотенуза прямоугольного треугольника равна **15 см**.