В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см мень ше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой Пифагора.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника
- Обозначим гипотенузу (самую длинную сторону) как \( c \) см.
- Пусть первый катет, который на 3 см меньше гипотенузы, будет равен \( a = c - 3 \) см.
- Пусть второй катет, который на 6 см меньше гипотенузы, будет равен \( b = c - 6 \) см.
Шаг 2: Применяем теорему Пифагора
Напомним, что для любого прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Шаг 3: Подставим значения
Теперь подставим выражения для \( a \) и \( b \) в уравнение теоремы Пифагора:
\[ (c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2 \]
Шаг 4: Раскроем скобки
Раскроем скобки в левом уравнении:
\[ (c - 3)^2 = c^2 - 6c + 9 \] \[ (c - 6)^2 = c^2 - 12c + 36 \]
Теперь подставим эти результаты обратно в уравнение:
\[ (c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2 \]
Шаг 5: Объединим подобные слагаемые
Соберем все термины на левой стороне:
\[ c^2 - 6c + 9 + c^2 - 12c + 36 = c^2 \]
Упростим левую часть:
\[ 2c^2 - 18c + 45 = c^2 \]
Шаг 6: Переносим все члены в одну сторону
Переносим \( c^2 \) влево:
\[ 2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0 \]
Это упростится до:
\[ c^2 - 18c + 45 = 0 \]
Шаг 7: Решаем квадратное уравнение
Теперь используем дискриминант для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -18 \), \( c = 45 \):
\[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ c = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{18 \pm 12}{2} \]
Шаг 8: Находим значения \( c \)
Теперь решим два случая:
- \( c = \frac{30}{2} = 15 \) см
- \( c = \frac{6}{2} = 3 \) см (это значение не может быть гипотенузой)
Таким образом, значение гипотенузы:
\[ c = 15 \text{ см} \]
Ответ
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см.
