√7-√x+1=2
Чтобы решить уравнение \( \sqrt{7} - \sqrt{x} + 1 = 2 \), следуем следующим шагам:
Упрощаем уравнение. Начнем с того, что перенесем \( \sqrt{x} \) в правую часть уравнения и упростим его:
\[ \sqrt{7} + 1 - 2 = \sqrt{x} \]
Это можно записать как:
\[ \sqrt{7} - 1 = \sqrt{x} \]
Квадратим обе стороны уравнения. Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{7} - 1)^2 = x \]
Работая с левой частью, разворачиваем квадрат:
\[ (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = x \]
Это упрощается до:
\[ 7 - 2\sqrt{7} + 1 = x \]
\[ 8 - 2\sqrt{7} = x \]
Записываем ответ. Таким образом, мы нашли \( x \):
\[ x = 8 - 2\sqrt{7} \]
Эти шаги показывают, как мы можем решать уравнение, используя алгебраические преобразования. Также важно помнить, что при возведении в квадрат, нужно проверять, не появились ли дополнительные корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению.
Проверка:
Подставим найденное значение \( x = 8 - 2\sqrt{7} \) обратно в исходное уравнение и проверим:
Вычислим \( \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} \).
Заметьте, что \( 8 - 2\sqrt{7} \) можно представить в виде \( (\sqrt{7} - 1)^2 \) (что дает тот же результат).
Подставив, мы имеем:
\[ \sqrt{7} - \left(\sqrt{7} - 1\right) + 1 = 2 \]
Упрощая это, получаем:
\[ \sqrt{7} - \sqrt{7} + 1 + 1 = 2 \]
\[ 2 = 2 \]
Таким образом, полученное значение \( x = 8 - 2\sqrt{7} \) действительно является решением исходного уравнения.
