(⁶√x)²-3⁶√x=4

Чтобы решить уравнение \((⁶√x)^2 - 3⁶√x = 4\), начнем с замены переменной для упрощения уравнения.

1. Обозначим \(y = ⁶√x\). Это значит, что \(y^2 = (⁶√x)^2\).

Теперь можем переписать уравнение:

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

2. Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы его решить, воспользуемся формулой квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\).

3. Подставим значения в формулу:

\[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \]

4. Упростим это:

\[ y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ y = \frac{3 \pm 5}{2} \]

5. Находим два возможных значения \(y\):

• При \(y = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
• При \(y = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)

Теперь имеем два значения для \(y\): \(y = 4\) и \(y = -1\).

6. Вернемся к замене: \(⁶√x = y\), следовательно, у нас есть два случая:

• Для \(y = 4\): \[ ⁶√x = 4 \Rightarrow x = 4^6 \] Теперь вычислим \(4^6\): \[ 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12} = 4096 \]

• Для \(y = -1\): \[ ⁶√x = -1 \] Так как \(⁶√x\) (шестой корень из \(x\)) не может быть отрицательным для действительных \(x\), этот случай не подходит.

7. Таким образом, единственное действительное решение: \[ x = 4096 \]

Ответ: \(x = 4096\).