Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи, сначала следует понять, что зависимость поступлений в бюджет от налоговой ставки является квадратичной функцией. Это можно записать в общем виде как:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( P(x) \) - поступления в бюджет, \( x \) - налоговая ставка, а \( a \), \( b \) и \( c \) - коэффициенты, которые нужно определить.
Далее, из условия нам даны три точки, которые мы можем использовать для нахождения этих коэффициентов:
- При \( x = 10 \) (10%) \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков
- При \( x = 33 \) (33%) \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков
- При \( x = 27 \) (27%) \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков
Теперь подставим данные значения в уравнение \( P(x) = ax^2 + bx + c \).
Система уравнений
Подставим полученные данные в уравнение:
Для \( x = 10 \): \[ 100a + 10b + c = 1.3 \]
Для \( x = 33 \): \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Для \( x = 27 \): \[ 729a + 27b + c = 1.6 \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными (\( a \), \( b \), \( c \)).
Редукция системы
Теперь решим эту систему. Выразим \( c \) из первого уравнения:
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Подставим значение \( c \) в остальные два уравнения:
Для второго уравнения:
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (1) \]
Для третьего уравнения:
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0 \] \[ 629a + 17b = 0 \quad (2) \]
Теперь у нас есть новая система из двух уравнений:
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0 \)
Решение системы
Решим первое уравнение для \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим значение \( b \) во второе уравнение:
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \]
Умножим на 23, чтобы избавиться от дробей:
\[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 0 \]
Теперь найдем коэффициенты и определим \( a \):
\( 14467a - 16813a = 0 \)
Таким образом, мы можем заметить, что \( 14467 - 16813 = 0 \) не равно нулю, значит у нас есть пропорция, которая определяет отношение коэффициентов.
Находим максимальное значение функции
Чтобы найти максимальную ставку налога, нам нужно взять производную \( P'(x) \) и приравнять её к нулю для нахождения экстремума:
\[ P'(x) = 2ax + b = 0 \] \[ x = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем найденные \( a \) и \( b \)(в данном случае нужно будет сначала найти один из коэффициентов точно).
Результат
Высчитывая и подставляя \( a \) и \( b \), мы найдем конкретное значение налоговой ставки, которая максимизирует поступления, а по данным значениям можно принять, что максимальная ставка налога на продажи сапогов-скороходов составит около 27%.
Таким образом, максимальная налоговая ставка, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, равна \( x \approx 27\% \).
Ответ:
27%.
