{x+y=5 {xy=6
Давайте разберём задачу, состоящую из системы уравнений:
- \( x + y = 5 \) (Уравнение 1)
- \( xy = 6 \) (Уравнение 2)
Шаг 1: Решение первого уравнения
Начнем с первого уравнения. Из него можно выразить \( y \) через \( x \):
\[ y = 5 - x \]
Шаг 2: Подстановка во второе уравнение
Теперь подставим найденное значение \( y \) во второе уравнение:
\[ x(5 - x) = 6 \]
Раскроем скобки:
\[ 5x - x^2 = 6 \]
Шаг 3: Приведение уравнения к стандартному виду
Переместим все члены на одну сторону уравнения:
\[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \]
Для удобства, умножим на -1, чтобы упростить:
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
Шаг 5: Нахождение корней
Теперь найдем два возможных значения \( x \):
- \( x_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Шаг 6: Нахождение значений \( y \)
Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение, чтобы найти \( y \):
- Если \( x = 3 \):
\[ y = 5 - 3 = 2 \]
- Если \( x = 2 \):
\[ y = 5 - 2 = 3 \]
Шаг 7: Записываем ответ
Таким образом, мы находим, что:
- Первое решение: \( (x, y) = (3, 2) \)
- Второе решение: \( (x, y) = (2, 3) \)
Ответ
Решения системы уравнений:
- \( (3, 2) \)
- \( (2, 3) \)
Эти пары чисел удовлетворяют обеим исходным уравнениям.
