Для решения данной задачи необходимо использовать свойства квадратичной функции. Мы знаем, что зависимость поступления налогов ( P ) от ставки налога ( x ) можно представить в виде квадратичной функции:
[
P(x) = ax^2 + bx + c
]
где ( a ), ( b ), и ( c ) — коэффициенты, которые необходимо определить.
Шаг 1: Составим систему уравнений
Согласно условию задачи, у нас есть три точки, соответствующие ставкам налога:
- ( x_1 = 10, P(x_1) = 1.3 )
- ( x_2 = 27, P(x_2) = 1.6 )
- ( x_3 = 33, P(x_3) = 1.3 )
Подставим значения ( P(x) ) и ( x ) в функцию:
[
\begin{aligned}
P(10) &= 100a + 10b + c = 1.3 \
P(27) &= 729a + 27b + c = 1.6 \
P(33) &= 1089a + 33b + c = 1.3 \
\end{aligned}
]
Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными ( a ), ( b ) и ( c ).
Шаг 2: Избавимся от ( c )
Вычтем из ближайших уравнений, чтобы выразить ( c ).
Сначала вычтем первое уравнение из второго:
[
(729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3
]
[
629a + 17b = 0.3 \quad \text{(1)}
]
Теперь вычтем первое уравнение из третьего:
[
(1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3
]
[
989a + 23b = 0 \quad \text{(2)}
]
Шаг 3: Решим системы уравнений (1) и (2)
Теперь будем решать систему уравнений, сформированную из (1) и (2):
- ( 629a + 17b = 0.3 ) (1)
- ( 989a + 23b = 0 ) (2)
Умножим уравнение (1) на 23 и уравнение (2) на 17, чтобы избавиться от ( b ):
[
\begin{aligned}
23(629a + 17b) &= 23(0.3) \
17(989a + 23b) &= 17(0) \
\end{aligned}
]
Это даёт нам:
[
14467a + 391b = 6.9 \quad \text{(3)}
]
[
16813a + 391b = 0 \quad \text{(4)}
]
Теперь вычтем (4) из (3):
[
(14467a + 391b) - (16813a + 391b) = 6.9 - 0
]
[
-2346a = 6.9
]
[
a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294
]
Теперь подставим ( a ) в одно из уравнений для нахождения ( b ). Используем (1):
[
629(-0.00294) + 17b = 0.3
]
[
-1.84806 + 17b = 0.3
]
[
17b = 2.14806 \implies b = \frac{2.14806}{17} \approx 0.12636
]
Шаг 4: Подставим ( a ) и ( b ) для нахождения ( c )
Подставим значения ( a ) и ( b ) в одно из исходных уравнений для нахождения ( c ). Используем первое уравнение:
[
100(-0.00294) + 10(0.12636) + c = 1.3
]
[
-0.294 + 1.2636 + c = 1.3
]
[
c = 1.3 - 0.294 + 0.7364 \approx 0.3304
]
Шаг 5: Нахождение максимума
Теперь мы имеем полное уравнение:
[
P(x) = -0.00294x^2 + 0.12636x + 0.3304
]
Чтобы найти максимум квадратичной функции, используем формулу:
[
x_{max} = -\frac{b}{2a}
]
Подставляем значения:
[
x_{max} = -\frac{0.12636}{2 \cdot -0.00294} \approx \frac{0.12636}{0.00588} \approx 21.5
]
Ответ
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет, составляет приблизительно 21.5%.
