Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи необходимо использовать свойства квадратичной функции. Мы знаем, что зависимость поступления налогов \( P \) от ставки налога \( x \) можно представить в виде квадратичной функции:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \), и \( c \) — коэффициенты, которые необходимо определить.
Шаг 1: Составим систему уравнений
Согласно условию задачи, у нас есть три точки, соответствующие ставкам налога:
- \( x_1 = 10, P(x_1) = 1.3 \)
- \( x_2 = 27, P(x_2) = 1.6 \)
- \( x_3 = 33, P(x_3) = 1.3 \)
Подставим значения \( P(x) \) и \( x \) в функцию:
\[ \begin{aligned} P(10) &= 100a + 10b + c = 1.3 \\ P(27) &= 729a + 27b + c = 1.6 \\ P(33) &= 1089a + 33b + c = 1.3 \\ \end{aligned} \]
Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными \( a \), \( b \) и \( c \).
Шаг 2: Избавимся от \( c \)
Вычтем из ближайших уравнений, чтобы выразить \( c \).
Сначала вычтем первое уравнение из второго:
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(1)} \]
Теперь вычтем первое уравнение из третьего:
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(2)} \]
Шаг 3: Решим системы уравнений (1) и (2)
Теперь будем решать систему уравнений, сформированную из (1) и (2):
- \( 629a + 17b = 0.3 \) (1)
- \( 989a + 23b = 0 \) (2)
Умножим уравнение (1) на 23 и уравнение (2) на 17, чтобы избавиться от \( b \):
\[ \begin{aligned} 23(629a + 17b) &= 23(0.3) \\ 17(989a + 23b) &= 17(0) \\ \end{aligned} \] Это даёт нам:
\[ 14467a + 391b = 6.9 \quad \text{(3)} \] \[ 16813a + 391b = 0 \quad \text{(4)} \]
Теперь вычтем (4) из (3):
\[ (14467a + 391b) - (16813a + 391b) = 6.9 - 0 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \]
Теперь подставим \( a \) в одно из уравнений для нахождения \( b \). Используем (1):
\[ 629(-0.00294) + 17b = 0.3 \] \[ -1.84806 + 17b = 0.3 \] \[ 17b = 2.14806 \implies b = \frac{2.14806}{17} \approx 0.12636 \]
Шаг 4: Подставим \( a \) и \( b \) для нахождения \( c \)
Подставим значения \( a \) и \( b \) в одно из исходных уравнений для нахождения \( c \). Используем первое уравнение:
\[ 100(-0.00294) + 10(0.12636) + c = 1.3 \] \[ -0.294 + 1.2636 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 0.294 + 0.7364 \approx 0.3304 \]
Шаг 5: Нахождение максимума
Теперь мы имеем полное уравнение:
\[ P(x) = -0.00294x^2 + 0.12636x + 0.3304 \]
Чтобы найти максимум квадратичной функции, используем формулу:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{max} = -\frac{0.12636}{2 \cdot -0.00294} \approx \frac{0.12636}{0.00588} \approx 21.5 \]
Ответ
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет, составляет приблизительно 21.5%.
