Реши задание с фото

Привет! Давай разберемся с твоим заданием. Нам нужно разложить подынтегральную функцию \( e^{-x^2} \) в степенной ряд и вычислить интеграл от 0 до \( \frac{1}{2} \) с точностью до \( \varepsilon = 10^{-4} \). Для решения этой задачи можем воспользоваться рядом Маклорена для экспоненты \( e^z \): \[ e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots + \frac{z^n}{n!} + \dots \] Теперь заменим \( z \) на \( -x^2 \) чтобы получить ряд для \( e^{-x^2} \): \[ e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \dots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{n!} + \dots \] Интегрируем полученный ряд почленно от 0 до \( \frac{1}{2} \). Каждый член ряда вида \( x^{2n} \) интегрируется как \( \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \), так что интеграл становится: \[ \int_0^{1/2} e^{-x^2} dx = \int_0^{1/2} \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \dots \right) dx \] \[ = \left[ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{2! \cdot 5} - \frac{x^7}{3! \cdot 7} + \dots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} + \dots \right]_0^{1/2} \] Теперь подставь числа и вычисли каждый член ряда до тех пор, пока точность не достигнет \( \varepsilon = 10^{-4} \). Не забывай про знаки: на нечетных n будет минус, на четных — плюс. Удачи! Если что-то непонятно или нужна помощь в вычислениях, обращайся. Мы разберемся вместе!