Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45 градусов. Объём призмы равен 180 см3. Найдите площадь полной поверхности призмы

Для начала давайте разберёмся с заданной задачей. Мы имеем прямую призму, основание которой представляет собой прямоугольный треугольник с одним катетом длиной 6 см и острым углом 45 градусов. Данный объем призмы составляет 180 см³. Мы должны найти площадь полной поверхности призмы. **Шаг 1: Найдем второй катет и площадь основания.** Так как один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, это означает, что оба катета равны между собой (согласно свойствам равнобедренного прямоугольного треугольника). Поэтому второй катет тоже равен 6 см. Теперь можем найти площадь основания (S) прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, \] где \(a\) и \(b\) — длины катетов. В нашем случае: \[ S = \frac{1}{2} \times 6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = \frac{1}{2} \times 36 \text{ см}^2 = 18 \text{ см}^2. \] **Шаг 2: Найдем высоту призмы.** Объем прямой призмы (V) вычисляется по формуле: \[ V = S \times h, \] где \(h\) — высота призмы. Из формулы для объема можем выразить высоту: \[ h = \frac{V}{S} = \frac{180 \text{ см}^3}{18 \text{ см}^2} = 10 \text{ см}. \] **Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности призмы.** Площадь полной поверхности P состоит из площади основания (2 основания) и площади боковой поверхности (Sб): \[ P = 2S + S_b. \] Площадь боковой поверхности \(S_b\) вычисляется как сумма площадей всех сторон боковой поверхности. Поскольку основание является треугольником, у нас будет 3 боковые грани, которые представлены прямоугольниками. - Две грани, соответствующие катетам: \[ S_{b1} = a \times h = 6 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 60 \text{ см}^2, \] \[ S_{b2} = b \times h = 6 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 60 \text{ см}^2. \] - Третья грань соответствует гипотенузе. Для начала вычислим гипотенузу \(c\) треугольника по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см}. \] Площадь боковой грани будет: \[ S_{b3} = c \times h = 6\sqrt{2} \text{ см} \times 10 \text{ см} = 60\sqrt{2} \text{ см}^2. \] Теперь найдем общую площадь боковой поверхности: \[ S_b = S_{b1} + S_{b2} + S_{b3} = 60 \text{ см}^2 + 60 \text{ см}^2 + 60\sqrt{2} \text{ см}^2. \] \[ S_b = 120 \text{ см}^2 + 60\sqrt{2} \text{ см}^2. \] Теперь подставим значения в формулу площади полной поверхности: \[ P = 2S + S_b = 2 \times 18 \text{ см}^2 + (120 \text{ см}^2 + 60\sqrt{2} \text{ см}^2). \] \[ P = 36 \text{ см}^2 + 120 \text{ см}^2 + 60\sqrt{2} \text{ см}^2 = 156 \text{ см}^2 + 60\sqrt{2} \text{ см}^2. \] **Ответ:** Площадь полной поверхности призмы равна \(156 \text{ см}^2 + 60\sqrt{2} \text{ см}^2\).