Решить

Для решения данной задачи необходимо подобрать второе уравнение в системе, чтобы она соответствовала указанным условиям.

У нас дано первое уравнение: \[ 3x - 2y = 1 \]

Рассмотрим каждое из условий:

а) Единственное решение

Для того чтобы система имела единственное решение, два уравнения должны быть независимыми, то есть их графики пересекаются в одной точке. Независимость достигается, если коэффициенты при \(x\) и \(y\) в двух уравнениях пропорциональны по-разному.

Первое уравнение имеет коэффициенты \(a_1 = 3\), \(b_1 = -2\). Пусть второе уравнение будет: \[ ax + by = c \]

Условие для единственного решения: \[ \frac{a}{3} \neq \frac{b}{-2} \]

Например, можно взять второе уравнение: \[ x + y = 1 \]

Проверка пропорциональности: \[ \frac{1}{3} \neq \frac{1}{-2} \]

Таким образом, система: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases} \] имеет единственное решение.

б) Нет решений

Для отсутствия решений у системы необходимо, чтобы графики уравнений были параллельны и, следовательно, не пересекались. Это возможно, если коэффициенты \(x\) и \(y\) пропорциональны, но свободные члены не пропорциональны.

Условие для параллельности: \[ \frac{a}{3} = \frac{b}{-2} \] и \[ \frac{c}{1} \neq \frac{1}{1} \]

Выбираем второе уравнение: \[ 6x - 4y = 5 \]

Проверка: \[ \frac{6}{3} = \frac{-4}{-2} \neq \frac{5}{1} \]

Таким образом, система: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 6x - 4y = 5 \end{cases} \] не имеет решений.

в) Бесконечно много решений

Для бесконечного множества решений уравнения должны быть зависимыми, то есть одно является линейной комбинацией другого.

Условие: \[ \frac{a}{3} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{1} \]

Выбираем второе уравнение: \[ 6x - 4y = 2 \]

Проверка пропорциональности: \[ \frac{6}{3} = \frac{-4}{-2} = \frac{2}{1} \]

Таким образом, система: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 6x - 4y = 2 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений.