Для решения данной задачи мы будем использовать комбинаторику и понятие вероятности. Начнем с определения необходимых терминов и формул.
Основные определения:
- Общее число рабочих: 8 (всего).
- Число женщин: 2.
- Число мужчин: 6 (8 - 2).
- Число отбираемых рабочих: 5.
1. Вероятность того, что среди отобранных рабочих не окажется женщин.
Шаг 1: Понимание понятия.
Для того чтобы не было женщин среди отобранных, мы должны выбрать всех 5 рабочих из 6 мужчин.
Шаг 2: Подсчет количества способов выбрать 5 мужчин.
Обозначим количество способов выбрать ( k ) объектов из ( n ) объектов как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
В данном случае:
- Мы выбираем 5 мужчин из 6: ( C(6, 5) ).
[
C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = 6
]
Шаг 3: Общее количество способов выбрать 5 рабочих из 8.
[
C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56
]
Шаг 4: Вероятность отсутствия женщин среди отобранных рабочих.
[
P(\text{нет женщин}) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{C(6, 5)}{C(8, 5)} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}
]
2. Вероятность того, что окажутся обе женщины.
Шаг 1: Понимание понятия.
Для того чтобы обе женщины оказались среди 5 отобранных человек, мы devons выбрать 2 женщины и 3 мужчин.
Шаг 2: Подсчет количества способов выбрать 2 женщины из 2.
[
C(2, 2) = 1
]
Шаг 3: Подсчет количества способов выбрать 3 мужчин из 6.
[
C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20
]
Шаг 4: Общее количество способов выбрать 5 рабочих из 8, как мы уже посчитали: 56.
Шаг 5: Вероятность того, что обе женщины окажутся среди отобранных.
[
P(\text{обе женщины}) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{C(2, 2) \cdot C(6, 3)}{C(8, 5)} = \frac{1 \cdot 20}{56} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}
]
Ответы:
- Вероятность того, что среди отобранных рабочих не окажется женщин: (\frac{3}{28}).
- Вероятность того, что окажутся обе женщины: (\frac{5}{14}).
