1) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 122°, угол CAD равен 72°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 2) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Давайте решения по обеим задачам разберем по шагам. ### Задача 1: Четырехугольник ABCD вписан в окружность **Дано:** - Угол ABC = 122° - Угол CAD = 72° **Найти:** Угол ABD. #### Шаг 1: Использование свойства вписанных углов Вписанные углы в окружности имеют одну важную особенность: угол, опирающийся на одну и ту же дугу, равен половине угла, опирающегося на ту же дугу, но находящегося в другой части окружности. #### Шаг 2: Найдем угол ADB Угол ADB будет равен углу ABC, так как это два угла опираются на ту же дугу AC: \[ \angle ADB = \angle ABC = 122° \] #### Шаг 3: Найдем сумму углов в треугольнике ABD В треугольнике ABD сумма всех углов равна 180°. У нас есть: - Угол ABD (который мы ищем) - Угол ADB, который мы нашли (122°) - Угол BAD, который равен углу CAD (72°) Суммируем эти углы: \[ \angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180° \] Подставляя известные значения: \[ \angle ABD + 122° + 72° = 180° \] #### Шаг 4: Решим уравнение Сложим известные углы: \[ \angle ABD + 194° = 180° \] Теперь вычтем 194° из обеих сторон: \[ \angle ABD = 180° - 194° = -14° \] Поняв, что возникла ошибка с выбором углов (поскольку угол не может быть отрицательным), следует рассмотреть другую сторону. Отметим, что у нас была природа A и D, определим угол BAD по верному пути. Применим другую теорему. #### Шаг 5: Обратимся к правилам Явно здесь сложнее, поэтому прибегнем к другому методу. Воспользуемся свойством: Сумма углов противолежащих друг другу в четырехугольнике вписанном равен 180°. Итак, угол ABC + угол ADC = 180° Поэтому угол ADB (который будет равен углу CAD): \[ ADC = 180° - ABC \] Следовательно, найдем: \[ ADC = 180° - 122° = 58° \] Теперь получаем угол ABD: \[ ABD = 180° - ADB - CAD = 180° - 58° - 72° = 50° \] Таким образом: \[ \angle ABD = 50° \] ### Ответ на первую задачу: Угол ABD равен 50°. --- ### Задача 2: Равнобедренный треугольник **Дано:** - Боковая сторона равнобедренного треугольника = 6 - Угол при вершине, противолежащий основанию = 120° **Найти:** Диаметр окружности, описанной около этого треугольника. #### Шаг 1: Определим стороны треугольника Пусть A, B, C - вершины треугольника ABC, где A - вершина, противолежащая основанию. Боковые стороны AB и AC равны 6. #### Шаг 2: Найти основание Поскольку треугольник равнобедренный, угол A равен 120°. Угол при основании (углы ABC и ACB) будет равен: \[ (180° - 120°) / 2 = 30°. \] #### Шаг 3: Использовать формулу для диаметра окружности Для нахождения диаметра окружности, описанной около треугольника, можно использовать формулу: \[ D = \frac{a}{\sin A} \] где D - диаметр, a - сторона, противолежащая углу A, и A - угол. #### Шаг 4: Найти сторону a Для нахождения стороны BC (основания треугольника) воспользуемся синусом: \[ BC = AB \cdot \sin(B). \] Из формулы нахождения стороны: \[ AB = 6, \quad \sin(30°) = 0.5 \] Таким образом: \[ BC = 6 \cdot \sin(30°) = 6 \cdot 0.5 = 3. \] #### Шаг 5: Найти диаметр Поскольку основание BC равно 3 (это будет стороной): \[ D = \frac{3}{\sin(120°)} \] Зная, что \(\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ D = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \] Тем самым, диаметр окружности: \[ D = 2\sqrt{3}. \] ### Ответ на вторую задачу: Диаметр окружности, описанной около треугольника, равен \(2\sqrt{3}\).