Вычислите площадь фигуры, ограниченной дугой AB и хордой AB, если градусная мера дуги равна 30°, а радиус окружности равен 6 см

Давайте решим задачу по геометрии о вычислении площади фигуры, ограниченной дугой AB и хордой AB, при условии, что градусная мера дуги составляет 30°, а радиус окружности равен 6 см. ### Шаг 1: Определим площадь сектора окружности Площадь сектора (области, заключенной между двумя радиусами и дугой) можно вычислить по формуле: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] где: - \( S_{\text{сектора}} \) — площадь сектора, - \( \alpha \) — угол в градусах (в нашем случае 30°), - \( r \) — радиус окружности (в нашем случае 6 см). Подставим известные значения: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{30^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 6^2 \] ### Шаг 2: Вычислим значение Упростим выражение: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{30}{360} \cdot \pi \cdot 36 \] \[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot 36 \] \[ S_{\text{сектора}} = 3\pi \, \text{см}^2 \] ### Шаг 3: Найдем площадь треугольника OAB Где \( O \) — центр окружности, \( A \) и \( B \) — точки на окружности. Для вычисления площади треугольника \( OAB \) с углом \( \alpha \) можно использовать формулу: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} r^2 \sin(\alpha) \] Подставим значения: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(30^\circ) \] Зная, что \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \): \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} \] \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{36}{4} = 9 \, \text{см}^2 \] ### Шаг 4: Найдем площадь фигуры Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной дугой AB и хордой AB, вычтем площадь треугольника из площади сектора: \[ S_{\text{фигуры}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} \] \[ S_{\text{фигуры}} = 3\pi - 9 \, \text{см}^2 \] ### Ответ Таким образом, площадь фигуры, ограниченной дугой AB и хордой AB, равна: \[ S_{\text{фигуры}} = 3\pi - 9 \, \text{см}^2 \approx 3 \cdot 3.14 - 9 \approx 9.42 - 9 = 0.42 \, \text{см}^2 \] Таким образом, площадь фигуры примерно равна \( 0.42 \, \text{см}^2 \) (если использовать значение \( \pi \approx 3.14 \)).