Чтобы найти значения (\cos a) и (\tan a), когда (\sin a = -\frac{1}{2}), воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество
Основное тригонометрическое тождество гласит:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Шаг 2: Подставляем известное значение
Подставим (\sin a = -\frac{1}{2}) в тождество. Для начала вычислим (\sin^2 a):
[
\sin^2 a = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
]
Теперь подставим это значение в тождество:
[
\frac{1}{4} + \cos^2 a = 1
]
Шаг 3: Решаем уравнение
Вычтем (\frac{1}{4}) из обеих частей:
[
\cos^2 a = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
]
Теперь найдём (\cos a):
[
\cos a = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Шаг 4: Определяем знак (\cos a)
Чтобы выяснить, какой из знаков следует использовать для (\cos a), нужно определить в какой четверти находится угол (a), зная, что (\sin a = -\frac{1}{2}).
Синус отрицателен в третьей и четвертой четвертях.
- В третьей четверти (\cos a) также отрицателен, поэтому (\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2}).
- В четвертой четверти (\cos a) положителен, поэтому (\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}).
Шаг 5: Находим (\tan a)
Теперь, чтобы найти (\tan a), используем отношение:
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}
]
Для третьей четверти
Если (\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2}):
[
\tan a = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
]
Для четвертой четверти
Если (\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}):
[
\tan a = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}
]
Ответ:
- В третьей четверти:
- (\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2})
- (\tan a = \frac{\sqrt{3}}{3})
- В четвертой четверти:
- (\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2})
- (\tan a = -\frac{\sqrt{3}}{3})
Теперь у вас есть значения (\cos a) и (\tan a) в зависимости от четверти, в которой находится угол (a).
