чему равен cos a, tg a, если sin a = -1/2? при решении нужно использовать основное тригонометрические тождество

Чтобы найти значения \(\cos a\) и \(\tan a\), когда \(\sin a = -\frac{1}{2}\), воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество гласит: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Шаг 2: Подставляем известное значение

Подставим \(\sin a = -\frac{1}{2}\) в тождество. Для начала вычислим \(\sin^2 a\): \[ \sin^2 a = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Теперь подставим это значение в тождество: \[ \frac{1}{4} + \cos^2 a = 1 \]

Шаг 3: Решаем уравнение

Вычтем \(\frac{1}{4}\) из обеих частей: \[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Теперь найдём \(\cos a\): \[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Шаг 4: Определяем знак \(\cos a\)

Чтобы выяснить, какой из знаков следует использовать для \(\cos a\), нужно определить в какой четверти находится угол \(a\), зная, что \(\sin a = -\frac{1}{2}\).

Синус отрицателен в третьей и четвертой четвертях.

• В третьей четверти \(\cos a\) также отрицателен, поэтому \(\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
• В четвертой четверти \(\cos a\) положителен, поэтому \(\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 5: Находим \(\tan a\)

Теперь, чтобы найти \(\tan a\), используем отношение: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

Для третьей четверти

Если \(\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ \tan a = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Для четвертой четверти

Если \(\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ \tan a = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Ответ:

• В третьей четверти:
  • \(\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • \(\tan a = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
• В четвертой четверти:
  • \(\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • \(\tan a = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Теперь у вас есть значения \(\cos a\) и \(\tan a\) в зависимости от четверти, в которой находится угол \(a\).