Для решения задачи давайте обозначим:
- t — время, необходимое второму комбайну для уборки урожая (в часах).
- Тогда первому комбайну потребуется t + 5 часов.
Исходя из этого, можем определить производительность каждого комбайна. Если мы рассматриваем урожай как 1 (целый урожай), тогда производительность первого комбайна будет ( \frac{1}{t + 5} ) урожая в час, а второго — ( \frac{1}{t} ) урожая в час.
Теперь проанализируем процесс уборки:
В течение первых 2 часов работал только первый комбайн. За это время он собрал:
[
2 \cdot \frac{1}{t + 5} = \frac{2}{t + 5}
]
После этого в течение 8 часов работали оба комбайна вместе. За это время они собрали:
[
8 \cdot \left( \frac{1}{t + 5} + \frac{1}{t} \right)
]
С учетом всего урожая, их общий сбор составил 80% или 0.8. Мы можем записать уравнение:
[
\frac{2}{t + 5} + 8 \cdot \left( \frac{1}{t + 5} + \frac{1}{t} \right) = 0.8
]
Теперь давайте упростим это уравнение:
- Упростим вторую часть уравнения:
[
8 \cdot \left( \frac{1}{t + 5} + \frac{1}{t} \right) = \frac{8}{t + 5} + \frac{8}{t}
]
Теперь можем записать полное уравнение:
[
\frac{2}{t + 5} + \frac{8}{t + 5} + \frac{8}{t} = 0.8
]
[
\frac{10}{t + 5} + \frac{8}{t} = 0.8
]
Теперь избавиться от дробей, умножив обе стороны уравнения на (t(t + 5)):
[
10t + 8(t + 5) = 0.8t(t + 5)
]
Раскроем скобки:
[
10t + 8t + 40 = 0.8t^2 + 4t
]
Соберём все члены в одной части:
[
18t + 40 = 0.8t^2 + 4t
]
[
0.8t^2 - 14t - 40 = 0
]
Теперь умножим уравнение на 10 для удобства:
[
8t^2 - 140t - 400 = 0
]
Для решения этого квадратного уравнения используем формулу корней:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 8), (b = -140), (c = -400).
Подставляем значения:
[
t = \frac{140 \pm \sqrt{(-140)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-400)}}{2 \cdot 8}
]
[
t = \frac{140 \pm \sqrt{19600 + 12800}}{16}
]
[
t = \frac{140 \pm \sqrt{32400}}{16}
]
[
t = \frac{140 \pm 180}{16}
]
Теперь найдем два возможных значения:
- (t_1 = \frac{320}{16} = 20)
- (t_2 = \frac{-40}{16}) (отрицательное значение не имеет физического смысла).
Таким образом, (t = 20) (время для второго комбайна), и для первого комбайна:
[
t + 5 = 20 + 5 = 25
]
Ответ:
Первый комбайн может собрать урожай за 25 часов, а второй — за 20 часов.
