Какой может быть сумма степеней вершин графа?

Чтобы понять, какая может быть сумма степеней вершин графа, начнем с некоторых определений и основных понятий. ### Определения: 1. **Граф** — это множество вершин, соединённых рёбрами. 2. **Степень вершины** — это количество рёбер, связанных с данной вершиной. 3. **Сумма степеней всех вершин** — это общее количество рёбер, учитывая, что каждое ребро соединяет две вершины. ### Пошаговое решение: 1. **Формула для суммы степеней вершин**: В любом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству рёбер. Это записывается в виде: \[ \sum_{v \in V} \text{deg}(v) = 2E \] где: - \( \sum_{v \in V} \text{deg}(v) \) — сумма степеней всех вершин, - \( E \) — количество рёбер в графе. 2. **Почему формула работает?** Каждое ребро соединяет две вершины, таким образом при подсчёте степеней вершин каждое ребро учитывается дважды — для каждой из соединённых вершин. Например, если есть рёбра между вершинами A и B, то степень вершины A увеличится на 1, и степень вершины B также увеличится на 1. 3. **Примеры**: - Рассмотрим граф с 3 вершинами и 3 рёбрами, где каждая вершина соединена с двумя другими: - Степени вершин будут: 2, 2 и 2. - Сумма степеней: \( 2 + 2 + 2 = 6 \). - Количество рёбер: 3. - Проверка: \( 2E = 2 \cdot 3 = 6 \). - Если у нас есть граф с 4 вершинами и 2 рёбрами: - Степени вершин могут быть: 1, 1, 0, 0 (две вершины соединены между собой, и два других не имеют соединений). - Сумма степеней: \( 1 + 1 + 0 + 0 = 2 \). - Количество рёбер — 2, что также соответствует \( 2 = 2 \cdot 1 \). ### Заключение: Сумма степеней вершин графа всегда четное число, так как она равна удвоенному количеству рёбер. Таким образом, сумма степеней может принимать значения 0, 2, 4, 6 и так далее, что в итоге всегда будет чётным числом.