Диспетчер скорой помощи за час приняла 150 звонков, определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 225
Для решения данной задачи нам нужно использовать понятие вероятности и аналитический подход. Давайте разберем её подробнее.
Шаг 1: Определение распределения
В данной задаче мы можем предположить, что количество звонков, принимаемых диспетчером скорой помощи за час, подчиняется распределению Пуассона. Распределение Пуассона подходит для моделирования событий, которые происходят в фиксированное время, если эти события происходят с известной средней частотой и независимо друг от друга.
Шаг 2: Параметры распределения
Из условия задачи нам известно, что диспетчер принят 150 звонков за час. Это означает, что среднее число звонков (λ) в час будет равно 150:
\[ λ = 150 \]
Шаг 3: Формула распределения Пуассона
Вероятность того, что в течение следующего часа произойдёт ровно k событий (в нашем случае, звонков), может быть рассчитана по формуле распределения Пуассона:
\[ P(X = k) = \frac{λ^k e^{-λ}}{k!} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность, что произойдёт ровно k событий;
- \( λ \) — среднее число событий (в нашем случае 150);
- \( e \) — основание натурального логарифма, примерно равное 2.71828;
- \( k! \) — факториал числа k.
Шаг 4: Вопрос задачи
Нам нужно определить вероятность того, что количество звонков превышает 225, то есть:
\[ P(X > 225) \]
Шаг 5: Использование дополнения
Используя свойства вероятностей, мы можем сосчитать это как:
\[ P(X > 225) = 1 - P(X \leq 225) \]
Где \( P(X \leq 225) \) — это вероятность того, что количество звонков меньше или равно 225.
Шаг 6: Числовые вычисления
Для расчета \( P(X \leq 225) \) требуется суммирование вероятностей от 0 до 225, что может быть сложным вручную. На практике, такую задачу удобно решать с помощью статистических таблиц, программ (например, Python или R), или калькуляторов вероятностей, которые поддерживают распределение Пуассона.
В большинстве случаев, для больших значений λ, распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением:
\[ X \sim N(λ, σ^2) \]
где \( σ^2 = λ \) — дисперсия.
Шаг 7: Применение нормального распределения
Для использования нормального распределения:
- Находим стандартное отклонение \( σ = \sqrt{150} \approx 12.25 \).
- Преобразуем наш порог (225) в Z-оценку:
\[ Z = \frac{X - λ}{σ} = \frac{225 - 150}{12.25} \approx 6.2 \]
Шаг 8: Итоговая вероятность
По таблице нормального распределения, Z-значение 6.2 будет соответствовать вероятности близкой к 1. Таким образом:
\[ P(X > 225) \approx 1 - P(Z \leq 6.2) \approx 1 - 1 \approx 0 \]
Ответ
Вероятность того, что в течение следующего часа количество звонков превысит 225, крайне мала, практически равна 0.
