диспетчер скорой помощи за час приняла 220 звонков. определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 330

Для решения задачи о вероятности того, что диспетчер скорой помощи получит более 330 звонков в следующем часе, воспользуемся распределением Пуассона, так как оно хорошо подходит для моделирования числа событий, происходящих в фиксированный интервал времени.

Шаг 1: Определение параметра λ (лямбда)

В данной задаче известно, что диспетчер за час принял 220 звонков. Следовательно, среднее число звонков в час (λ) равно 220.

Шаг 2: Формула распределения Пуассона

Вероятностная функция распределения Пуассона определяется следующим образом:

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность получения k событий (звонков) в интервале,
• \( e \) — основание натурального логарифма (примерно равно 2.71828),
• \( \lambda \) — среднее количество событий (в нашем случае, 220),
• \( k \) — фактическое количество событий.

Шаг 3: Нахождение вероятности \( P(X > 330) \)

Для нахождения вероятности \( P(X > 330) \) мы можем использовать свойство вероятностей:

\[ P(X > 330) = 1 - P(X \leq 330) \]

Для нахождения \( P(X \leq 330) \) мы можем суммировать вероятности от \( P(X = 0) \) до \( P(X = 330) \):

\[ P(X \leq 330) = \sum_{k=0}^{330} P(X = k) \]

Шаг 4: Использование нормального приближения

Так как λ (220) велико, мы можем воспользоваться нормальным приближением для упрощения расчетов. Распределение Пуассона можно приближенно считать нормальным с параметрами:

• Среднее (μ) = λ = 220,
• Дисперсия (σ²) = λ = 220, следовательно, стандартное отклонение (σ) = √220 ≈ 14.83.

Теперь используем нормальное распределение с μ = 220 и σ ≈ 14.83.

Шаг 5: Преобразование к стандартному нормальному распределению

Необходимо преобразовать значение 330 к стандартной нормальной переменной z:

\[ z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{330 - 220}{14.83} \approx 7.42 \]

Шаг 6: Использование таблицы нормального распределения

Для \( z = 7.42 \) значение вероятности P(Z ≤ 7.42) будет практически равно 1, так как такое значение z крайне редко встречается.

Шаг 7: Итоговая вероятность

Следовательно,

\[ P(X > 330) = 1 - P(X \leq 330) \approx 1 - 1 = 0 \]

Заключение

Вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 330, близка к 0. Это значит, что вероятность превышения 330 звонков крайне мала.