Для решения этой задачи будем использовать понятия, связанные с циклом Карно. В цикле Карно тепловая машина преобразует теплоту, получаемую от нагревателя, в работу, которая затем может быть использована для выполнения определённой задачи (например, выпаривание воды). Основная формула, касающаяся цикла Карно, выглядит так:
[
\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}
]
где:
- ( \eta ) — это эффективность тепловой машины,
- ( T_1 ) — температура нагревателя в кельвинах,
- ( T_2 ) — температура холодильника в кельвинах.
Шаг 1: Переводим температуру холодильника в кельвины
Температуру холодильника ( T_2 = 20°C ) нужно перевести в кельвины:
[
T_2 = 20 + 273.15 = 293.15 , K
]
Шаг 2: Вычисляем эффективность тепловой машины
Сначала определим полезную работу, которую машина выполняет за цикл, и свяжем её с полученной теплотой. Зная, что работа необходима для испарения 1 кг воды, можем записать:
[
W = L = 2.3 , \text{МДж}
]
Кроме того, известно, что машина получила 5 МДж тепла от нагревателя. Теперь мы можем рассчитать эффективность:
[
\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{2.3 , \text{МДж}}{5 , \text{МДж}} = 0.46
]
Шаг 3: Подставляем значение эффективности в формулу
Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для эффективности:
[
0.46 = 1 - \frac{T_2}{T_1}
]
Перепишем уравнение:
[
\frac{T_2}{T_1} = 1 - 0.46 = 0.54
]
Шаг 4: Выражаем температуру нагревателя
Теперь мы можем выразить температуру нагревателя ( T_1 ):
[
T_1 = \frac{T_2}{0.54}
]
Подставим значение для ( T_2 ):
[
T_1 = \frac{293.15}{0.54} \approx 543.24 , K
]
Шаг 5: Округляем до целого числа
Округляем полученное значение:
[
T_1 \approx 543 , K
]
Таким образом, температура нагревателя составляет примерно 543 К.
