В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 200, 300, 400, 500 и 600 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 422 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 200, 300, 400, 500 и 600 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 422 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 600 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 430 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Для решения этой задачи начнем с анализа представленных данных.
Обозначим количество акций Б. до покупки последней акции как \( n \). Средняя цена акций на данный момент составляет 422 рубля.
Сумма цен акций до покупки последней акции:
Средняя цена рассчитывается по формуле:
\[ \text{Средняя цена} = \frac{\text{Сумма цен акций}}{n} \] Поскольку средняя цена равна 422, мы можем выразить сумму цен акций так: \[ \text{Сумма цен акций} = 422 \cdot n \]Добавление новой акции: Б. покупает ещё одну акцию за 600 рублей. После этой покупки общее количество акций станет \( n + 1 \), а новая средняя цена будет: \[ \text{Новая средняя цена} = \frac{422n + 600}{n + 1} \]
Сравнение с 430 рублями: По условию задачи, средняя цена акций не достигла 430 рублей, поэтому: \[ \frac{422n + 600}{n + 1} < 430 \]
Решим неравенство: Умножим обе стороны на \( n + 1 \) (положительное число, поэтому знак неравенства не изменится): \[ 422n + 600 < 430(n + 1) \] Раскрываем скобки: \[ 422n + 600 < 430n + 430 \] Переносим все члены с \( n \) в одну сторону: \[ 600 - 430 < 430n - 422n \] \[ 170 < 8n \] Делим обе стороны на 8: \[ n > \frac{170}{8} = 21.25 \] Таким образом, минимальное целое значение \( n \) — это 22.
Проверка: Если \( n = 22 \):
- Сумма цен акций: \( 422 \cdot 22 = 9284 \)
- После покупки: сумма становится \( 9284 + 600 = 9884 \)
- Общее количество акций: \( 22 + 1 = 23 \)
- Новая средняя цена: \[ \text{Новая средняя цена} = \frac{9884}{23} \approx 429.74 \, (\text{меньше } 430) \]
Проверим для \( n = 21 \):
- Сумма цен акций: \( 422 \cdot 21 = 8862 \)
- После покупки: сумма становится \( 8862 + 600 = 9462 \)
- Общее количество акций: \( 21 + 1 = 22 \)
- Новая средняя цена: \[ \text{Новая средняя цена} = \frac{9462}{22} \approx 430.09 \, (\text{больше } 430) \]
Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у Б. до покупки последней акции, равно \( \boxed{22} \).
