даны горизонтальные проложения S,=123,48 и дирекционные углы а=43°45,0' .Известны средние квадратические ошибки m(s)= 0,03м и m(a) = 0,5'. По одному из вариантов вычислить…

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами для вычисления приращений координат, а также для вычисления средних квадратических ошибок.

Шаг 1: Вычисление приращений координат

Даны:

• Длина горизонтального проложения \( S = 123,48 \) м
• Дирекционный угол \( \alpha = 43°45' \)

Сначала преобразуем дирекционный угол из градусов и минут в десятичные градусы: \[ \alpha = 43 + \frac{45}{60} = 43,75° \]

Теперь используем формулы для вычисления приращений координат: \[ \Delta x = S \cdot \cos(\alpha) \] \[ \Delta y = S \cdot \sin(\alpha) \]

Преобразуем угол в радианы для использования в тригонометрических функциях: \[ \alpha_{\text{рад}} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180} = 43,75 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0,764 \text{ рад} \]

Теперь вычислим \(\Delta x\) и \(\Delta y\):

1. Вычисляем \(\Delta x\): \[ \Delta x = 123,48 \cdot \cos(0,764) \approx 123,48 \cdot 0,7265 \approx 89,73 \text{ м} \]

2. Вычисляем \(\Delta y\): \[ \Delta y = 123,48 \cdot \sin(0,764) \approx 123,48 \cdot 0,6869 \approx 84,91 \text{ м} \]

Шаг 2: Вычисление средних квадратических ошибок

Известны средние квадратические ошибки:

• \( m(S) = 0,03 \) м
• \( m(\alpha) = 0,5' = \frac{0,5}{60} = \frac{1}{120} \text{ град} \approx 0,00833 \text{ град} \)

Теперь нужно вычислить средние квадратичные ошибки для \(\Delta x\) и \(\Delta y\). Формулы для ошибок приращений: \[ m_{\Delta x} = \sqrt{ \left( \frac{\partial \Delta x}{\partial S} m(S) \right)^2 + \left( \frac{\partial \Delta x}{\partial \alpha} m(\alpha) \right)^2 } \] \[ m_{\Delta y} = \sqrt{ \left( \frac{\partial \Delta y}{\partial S} m(S) \right)^2 + \left( \frac{\partial \Delta y}{\partial \alpha} m(\alpha) \right)^2 } \]

Где производные: \[ \frac{\partial \Delta x}{\partial S} = \cos(\alpha) \quad \text{и} \quad \frac{\partial \Delta x}{\partial \alpha} = -S \sin(\alpha) \] \[ \frac{\partial \Delta y}{\partial S} = \sin(\alpha) \quad \text{и} \quad \frac{\partial \Delta y}{\partial \alpha} = S \cos(\alpha) \]

Теперь подставляем значения:

1. Для \(\Delta x\): \[ m_{\Delta x} = \sqrt{ \left( \cos(0,764) \cdot 0,03 \right)^2 + \left( -123,48 \cdot \sin(0,764) \cdot 0,00833 \right)^2 } \] \[ m_{\Delta x} = \sqrt{ (0,7265 \cdot 0,03)^2 + ( -89,73 \cdot 0,00833 )^2 } \] \[ m_{\Delta x} = \sqrt{ (0,021795)^2 + (-0,74778)^2 } \approx \sqrt{ 0,000475 + 0,559282 } \approx \sqrt{0,559757} \approx 0,747 \text{ м} \]

2. Для \(\Delta y\): \[ m_{\Delta y} = \sqrt{ \left( \sin(0,764) \cdot 0,03 \right)^2 + \left( 123,48 \cdot \cos(0,764) \cdot 0,00833 \right)^2 } \] \[ m_{\Delta y} = \sqrt{ (0,6869 \cdot 0,03)^2 + (123,48 \cdot 0,7265 \cdot 0,00833)^2 } \] \[ m_{\Delta y} = \sqrt{ (0,020607)^2 + (0,72067)^2 } \approx \sqrt{ 0,000425 + 0,519272 } \approx \sqrt{0,519697} \approx 0,721 \text{ м} \]

Ответ:

• Приращение координаты \(\Delta x \approx 89,73\) м с ошибкой \( m_{\Delta x} \approx 0,747\) м.
• Приращение координаты \(\Delta y \approx 84,91\) м с ошибкой \( m_{\Delta y} \approx 0,721\) м.