Даны горизонтальные проложения S,=123,48 и дирекционные углы а=43°45,0' .Известны средние квадратические ошибки m(s)= 0,03м и m(a) = 0,5'. По одному из вариантов вычислить приращения координат по формулам: ∆х=Scosα, ∆у= Ssinα и их средние квадратические ошибки: m∆х и m∆y

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами для вычисления приращений координат, а также для вычисления средних квадратических ошибок. ### Шаг 1: Вычисление приращений координат Даны: - Длина горизонтального проложения \( S = 123,48 \) м - Дирекционный угол \( \alpha = 43°45' \) Сначала преобразуем дирекционный угол из градусов и минут в десятичные градусы: \[ \alpha = 43 + \frac{45}{60} = 43,75° \] Теперь используем формулы для вычисления приращений координат: \[ \Delta x = S \cdot \cos(\alpha) \] \[ \Delta y = S \cdot \sin(\alpha) \] Преобразуем угол в радианы для использования в тригонометрических функциях: \[ \alpha_{\text{рад}} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180} = 43,75 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0,764 \text{ рад} \] Теперь вычислим \(\Delta x\) и \(\Delta y\): 1. **Вычисляем \(\Delta x\)**: \[ \Delta x = 123,48 \cdot \cos(0,764) \approx 123,48 \cdot 0,7265 \approx 89,73 \text{ м} \] 2. **Вычисляем \(\Delta y\)**: \[ \Delta y = 123,48 \cdot \sin(0,764) \approx 123,48 \cdot 0,6869 \approx 84,91 \text{ м} \] ### Шаг 2: Вычисление средних квадратических ошибок Известны средние квадратические ошибки: - \( m(S) = 0,03 \) м - \( m(\alpha) = 0,5' = \frac{0,5}{60} = \frac{1}{120} \text{ град} \approx 0,00833 \text{ град} \) Теперь нужно вычислить средние квадратичные ошибки для \(\Delta x\) и \(\Delta y\). Формулы для ошибок приращений: \[ m_{\Delta x} = \sqrt{ \left( \frac{\partial \Delta x}{\partial S} m(S) \right)^2 + \left( \frac{\partial \Delta x}{\partial \alpha} m(\alpha) \right)^2 } \] \[ m_{\Delta y} = \sqrt{ \left( \frac{\partial \Delta y}{\partial S} m(S) \right)^2 + \left( \frac{\partial \Delta y}{\partial \alpha} m(\alpha) \right)^2 } \] Где производные: \[ \frac{\partial \Delta x}{\partial S} = \cos(\alpha) \quad \text{и} \quad \frac{\partial \Delta x}{\partial \alpha} = -S \sin(\alpha) \] \[ \frac{\partial \Delta y}{\partial S} = \sin(\alpha) \quad \text{и} \quad \frac{\partial \Delta y}{\partial \alpha} = S \cos(\alpha) \] Теперь подставляем значения: 1. **Для \(\Delta x\)**: \[ m_{\Delta x} = \sqrt{ \left( \cos(0,764) \cdot 0,03 \right)^2 + \left( -123,48 \cdot \sin(0,764) \cdot 0,00833 \right)^2 } \] \[ m_{\Delta x} = \sqrt{ (0,7265 \cdot 0,03)^2 + ( -89,73 \cdot 0,00833 )^2 } \] \[ m_{\Delta x} = \sqrt{ (0,021795)^2 + (-0,74778)^2 } \approx \sqrt{ 0,000475 + 0,559282 } \approx \sqrt{0,559757} \approx 0,747 \text{ м} \] 2. **Для \(\Delta y\)**: \[ m_{\Delta y} = \sqrt{ \left( \sin(0,764) \cdot 0,03 \right)^2 + \left( 123,48 \cdot \cos(0,764) \cdot 0,00833 \right)^2 } \] \[ m_{\Delta y} = \sqrt{ (0,6869 \cdot 0,03)^2 + (123,48 \cdot 0,7265 \cdot 0,00833)^2 } \] \[ m_{\Delta y} = \sqrt{ (0,020607)^2 + (0,72067)^2 } \approx \sqrt{ 0,000425 + 0,519272 } \approx \sqrt{0,519697} \approx 0,721 \text{ м} \] ### Ответ: - Приращение координаты \(\Delta x \approx 89,73\) м с ошибкой \( m_{\Delta x} \approx 0,747\) м. - Приращение координаты \(\Delta y \approx 84,91\) м с ошибкой \( m_{\Delta y} \approx 0,721\) м.