В равнобедренной трапеции синус острого угла равен 7/9 , а боковая сторона равна 36 см. Периметр трапеции равен 130 см. Найдите её площадь.

Давайте решим задачу о нахождении площади равнобедренной трапеции, используя данные о её остром угле и боковой стороне.

Данные из задачи:

• Синус острого угла \( \theta \) равен \( \sin(\theta) = \frac{7}{9} \).
• Боковая сторона \( AB = 36 \, \text{см} \).
• Периметр трапеции \( P = 130 \, \text{см} \).

1. Обозначения:

Обозначим:

• Боковые стороны трапеции: \( AB = CD = 36 \, \text{см} \).
• Основания: \( AD = a \), \( BC = b \).

2. Периметр:

Формула для периметра равнобедренной трапеции: \[ P = a + b + 2 \cdot AB \] Подставляя известные значения: \[ 130 = a + b + 2 \cdot 36 \] Считаем: \[ 130 = a + b + 72 \implies a + b = 130 - 72 = 58 \, \text{см} \]

3. Найдем высоту трапеции:

Для нахождения высоты можно использовать тригонометрию. Высота \( h \) равна: \[ h = AB \cdot \sin(\theta) = 36 \cdot \sin(\theta) = 36 \cdot \frac{7}{9} \] Рассчитаем высоту: \[ h = 36 \cdot \frac{7}{9} = 28 \, \text{см} \]

4. Найдем основания:

Теперь выразим \( a \) и \( b \) через высоту. Для этого воспользуемся косинусом острого угла: \[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{9}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{81}} = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9} \] Теперь найдем полусумму оснований: \[ \frac{b - a}{2} = h \cdot \cot(\theta) \Rightarrow h \cdot \cot(\theta) = h \cdot \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = 28 \cdot \frac{4\sqrt{2}/9}{7/9} = 28 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{7} = \frac{112\sqrt{2}}{7} = 16\sqrt{2} \] Тогда: \[ b - a = 2 \cdot 16 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2} \]

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

1. \( a + b = 58 \)
2. \( b - a = 32 \sqrt{2} \)

5. Решим систему:

Сложим уравнения: \[ a + b + b - a = 58 + 32 \sqrt{2} \implies 2b = 58 + 32\sqrt{2} \implies b = 29 + 16\sqrt{2} \] Теперь найдем \( a \): \[ a = 58 - b = 58 - (29 + 16\sqrt{2}) = 29 - 16\sqrt{2} \]

6. Найдем площадь трапеции:

Формула для площади \( S \) трапеции: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(58) \cdot 28}{2} = 29 \cdot 28 = 812 \, \text{см}^2 \]

Ответ:

Площадь равнобедренной трапеции составляет \( \boxed{812} \, \text{см}^2 \).