В равнобедренной трапеции синус острого угла равен 7/9 , а боковая сторона равна 36 см. Периметр трапеции равен 130 см. Найдите её площадь.

Давайте решим задачу о нахождении площади равнобедренной трапеции, используя данные о её остром угле и боковой стороне. ### Данные из задачи: - Синус острого угла \( \theta \) равен \( \sin(\theta) = \frac{7}{9} \). - Боковая сторона \( AB = 36 \, \text{см} \). - Периметр трапеции \( P = 130 \, \text{см} \). ### 1. Обозначения: Обозначим: - Боковые стороны трапеции: \( AB = CD = 36 \, \text{см} \). - Основания: \( AD = a \), \( BC = b \). ### 2. Периметр: Формула для периметра равнобедренной трапеции: \[ P = a + b + 2 \cdot AB \] Подставляя известные значения: \[ 130 = a + b + 2 \cdot 36 \] Считаем: \[ 130 = a + b + 72 \implies a + b = 130 - 72 = 58 \, \text{см} \] ### 3. Найдем высоту трапеции: Для нахождения высоты можно использовать тригонометрию. Высота \( h \) равна: \[ h = AB \cdot \sin(\theta) = 36 \cdot \sin(\theta) = 36 \cdot \frac{7}{9} \] Рассчитаем высоту: \[ h = 36 \cdot \frac{7}{9} = 28 \, \text{см} \] ### 4. Найдем основания: Теперь выразим \( a \) и \( b \) через высоту. Для этого воспользуемся косинусом острого угла: \[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{9}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{81}} = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9} \] Теперь найдем полусумму оснований: \[ \frac{b - a}{2} = h \cdot \cot(\theta) \Rightarrow h \cdot \cot(\theta) = h \cdot \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = 28 \cdot \frac{4\sqrt{2}/9}{7/9} = 28 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{7} = \frac{112\sqrt{2}}{7} = 16\sqrt{2} \] Тогда: \[ b - a = 2 \cdot 16 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2} \] Теперь у нас есть система линейных уравнений: 1. \( a + b = 58 \) 2. \( b - a = 32 \sqrt{2} \) ### 5. Решим систему: Сложим уравнения: \[ a + b + b - a = 58 + 32 \sqrt{2} \implies 2b = 58 + 32\sqrt{2} \implies b = 29 + 16\sqrt{2} \] Теперь найдем \( a \): \[ a = 58 - b = 58 - (29 + 16\sqrt{2}) = 29 - 16\sqrt{2} \] ### 6. Найдем площадь трапеции: Формула для площади \( S \) трапеции: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(58) \cdot 28}{2} = 29 \cdot 28 = 812 \, \text{см}^2 \] ### Ответ: Площадь равнобедренной трапеции составляет \( \boxed{812} \, \text{см}^2 \).