найдите наименьшее значение функции y = 9 ln ( x + 8 ) - 9x + 12 на отрезке -7.5 и 0
Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 9 \ln(x + 8) - 9x + 12 \) на отрезке \([-7.5, 0]\), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Определение области определения функции
Функция \( y = 9 \ln(x + 8) - 9x + 12 \) определена, когда аргумент логарифма положителен, то есть: \[ x + 8 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -8 \] На заданном отрезке \([-7.5, 0]\) функция определена.
Шаг 2: Найдем производную функции
Для нахождения минимумов и максимумов, найдем первую производную функции и приравняем её к нулю: \[ y' = \frac{d}{dx}(9 \ln(x + 8) - 9x + 12) \] Используем правилo производной логарифма и производной линейной функции: \[ y' = 9 \cdot \frac{1}{x + 8} - 9 \] Приравниваем производную к нулю: \[ 9 \cdot \frac{1}{x + 8} - 9 = 0 \] Решаем уравнение: \[ \frac{1}{x + 8} = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 = x + 8 \quad \Rightarrow \quad x = -7 \]
Шаг 3: Исследуем значения функции
Теперь найдем значения функции \( y \) в критической точке и на границах отрезка.
На границе \( x = -7.5 \): \[ y(-7.5) = 9 \ln(-7.5 + 8) - 9(-7.5) + 12 \] \[ = 9 \ln(0.5) + 67.5 + 12 \] \[ = 9 \ln(0.5) + 79.5 \] Приблизительно \( \ln(0.5) \approx -0.693 \): \[ y(-7.5) \approx 9 \cdot (-0.693) + 79.5 \approx -6.237 + 79.5 \approx 73.263 \]
На границе \( x = 0 \): \[ y(0) = 9 \ln(0 + 8) - 9 \cdot 0 + 12 \] \[ = 9 \ln(8) + 12 \] Приблизительно \( \ln(8) \approx 2.079 \): \[ y(0) \approx 9 \cdot 2.079 + 12 \approx 18.711 + 12 \approx 30.711 \]
В критической точке \( x = -7 \): \[ y(-7) = 9 \ln(-7 + 8) - 9(-7) + 12 \] \[ = 9 \ln(1) + 63 + 12 \] \[ = 0 + 63 + 12 = 75 \]
Шаг 4: Сравнение значений
Теперь сравним все найденные значения функции:
- \( y(-7.5) \approx 73.263 \)
- \( y(0) \approx 30.711 \)
- \( y(-7) = 75 \)
Заключение
Наименьшее значение функции на отрезке \([-7.5, 0]\) достигается при \( x = 0 \): \[ \boxed{30.711} \]
