найди все корни уравнения tgx = корень из 3 на промежутке (-3п/2; 3п/2)
Чтобы решить уравнение \(\tan x = \sqrt{3}\), начнем с определения основных углов, при которых тангенс равен \(\sqrt{3}\).
Найдем основное значение x:
Тангенс принимает значение \(\sqrt{3}\) при угле \(x = \frac{\pi}{3}\) и во всех углах, которые выражаются формулой: \[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \] где \(k\) — целое число. Это объясняется тем, что тангенс обладает периодичностью \( \pi \).Теперь подберём значения \(k\), используя заданный промежуток \((- \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\).
Для этого подставим разные значения \(k\):
При \(k = -2\): \[ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \quad \text{(не входит в промежуток)} \]
При \(k = -1\): \[ x = \frac{\pi}{3} - \pi = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \quad \text{(входит в промежуток)} \]
При \(k = 0\): \[ x = \frac{\pi}{3} \quad \text{(входит в промежуток)} \]
При \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \quad \text{(не входит в промежуток)} \]
Итак, все корни в промежутке \((- \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\):
- \(x_1 = -\frac{2\pi}{3}\)
- \(x_2 = \frac{\pi}{3}\)
Таким образом, решения уравнения \(\tan x = \sqrt{3}\) на промежутке \((- \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\) — это: \[ x = -\frac{2\pi}{3}, \quad \frac{\pi}{3} \]
