Найди все корни уравнения tgx = корень из 3 на промежутке (-3п/2; 3п/2)

Чтобы решить уравнение \(\tan x = \sqrt{3}\), начнем с определения основных углов, при которых тангенс равен \(\sqrt{3}\). 1. **Найдем основное значение x**: Тангенс принимает значение \(\sqrt{3}\) при угле \(x = \frac{\pi}{3}\) и во всех углах, которые выражаются формулой: \[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \] где \(k\) — целое число. Это объясняется тем, что тангенс обладает периодичностью \( \pi \). 2. **Теперь подберём значения \(k\)**, используя заданный промежуток \((- \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\). Для этого подставим разные значения \(k\): - При \(k = -2\): \[ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \quad \text{(не входит в промежуток)} \] - При \(k = -1\): \[ x = \frac{\pi}{3} - \pi = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \quad \text{(входит в промежуток)} \] - При \(k = 0\): \[ x = \frac{\pi}{3} \quad \text{(входит в промежуток)} \] - При \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \quad \text{(не входит в промежуток)} \] 3. **Итак, все корни в промежутке \((- \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\)**: - \(x_1 = -\frac{2\pi}{3}\) - \(x_2 = \frac{\pi}{3}\) Таким образом, решения уравнения \(\tan x = \sqrt{3}\) на промежутке \((- \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\) — это: \[ x = -\frac{2\pi}{3}, \quad \frac{\pi}{3} \]