Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 60 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 135 часов. За сколько часов мог бы оформить учебник алгебры каждый дизайнер, работая отдельно?

Решим задачу по шагам, чтобы понять, как упростить и решить эту задачу с помощью системы уравнений. Обозначим время, которое требуется каждому дизайнеру, чтобы выполнить работу отдельно: - Пусть \( a \) — время, за которое первый дизайнер может завершить всю работу. - Пусть \( b \) — время, за которое второй дизайнер может завершить всю работу. Теперь запишем выражения для работы каждого дизайнера: 1. **Работа в команде:** Два дизайнера, работая вместе, выполнили заказ за 60 часов. Значит, скорость выполнения работы совместно равна: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{60} \] 2. **Работа по очереди:** Если бы первый дизайнер выполнил половину работы, а затем второй дизайнер завершил оставшуюся половину, работа заняла бы 135 часов. Работа в этом случае будет равна: - Половина работы выполняется первым дизайнером за \( \frac{a}{2} \) часов. - Затем, вторая половина работы выполняется вторым дизайнером за \( \frac{b}{2} \) часов. Тогда мы можем записать уравнение: \[ \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = 135 \] После упрощения получаем: \[ a + b = 270 \] Теперь у нас есть две системы уравнений: 1. \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{60} \) 2. \( a + b = 270 \) Сначала из второго уравнения выразим \( b \): \[ b = 270 - a \] Теперь подставим \( b \) во первое уравнение: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{270 - a} = \frac{1}{60} \] Теперь умножим всё уравнение на \( a(270 - a) \) для избавления от дробей: \[ (270 - a) + a = \frac{a(270 - a)}{60} \] Сложим и упростим: \[ 270 = \frac{a(270 - a)}{60} \] Теперь умножим обе стороны на 60 для очиствения: \[ 16200 = a(270 - a) \] Распишем это уравнение: \[ 16200 = 270a - a^2 \] Перепишем уравнение: \[ a^2 - 270a + 16200 = 0 \] Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-270)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16200 = 72900 - 64800 = 8100 \] Теперь найдем корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{270 \pm \sqrt{8100}}{2} \] Так как \( \sqrt{8100} = 90 \), получаем: \[ a = \frac{270 \pm 90}{2} \] Это дает два решения: 1. \( a = \frac{360}{2} = 180 \) 2. \( a = \frac{180}{2} = 90 \) Таким образом, у нас: - \( a = 180 \) (время первого дизайнера) - \( b = 270 - 180 = 90 \) (время второго дизайнера) Теперь подведем итог: - Первый дизайнер может оформить учебник за 180 часов. - Второй дизайнер может оформить учебник за 90 часов. Ответ: первый дизайнер — 180 часов, второй дизайнер — 90 часов.