Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 60 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Решим задачу по шагам, чтобы понять, как упростить и решить эту задачу с помощью системы уравнений.

Обозначим время, которое требуется каждому дизайнеру, чтобы выполнить работу отдельно:

• Пусть \( a \) — время, за которое первый дизайнер может завершить всю работу.
• Пусть \( b \) — время, за которое второй дизайнер может завершить всю работу.

Теперь запишем выражения для работы каждого дизайнера:

1. Работа в команде: Два дизайнера, работая вместе, выполнили заказ за 60 часов. Значит, скорость выполнения работы совместно равна: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{60} \]

2. Работа по очереди: Если бы первый дизайнер выполнил половину работы, а затем второй дизайнер завершил оставшуюся половину, работа заняла бы 135 часов. Работа в этом случае будет равна:

   • Половина работы выполняется первым дизайнером за \( \frac{a}{2} \) часов.
   • Затем, вторая половина работы выполняется вторым дизайнером за \( \frac{b}{2} \) часов.

   Тогда мы можем записать уравнение: \[ \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = 135 \] После упрощения получаем: \[ a + b = 270 \]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{60} \)
2. \( a + b = 270 \)

Сначала из второго уравнения выразим \( b \): \[ b = 270 - a \]

Теперь подставим \( b \) во первое уравнение: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{270 - a} = \frac{1}{60} \]

Теперь умножим всё уравнение на \( a(270 - a) \) для избавления от дробей: \[ (270 - a) + a = \frac{a(270 - a)}{60} \] Сложим и упростим: \[ 270 = \frac{a(270 - a)}{60} \]

Теперь умножим обе стороны на 60 для очиствения: \[ 16200 = a(270 - a) \] Распишем это уравнение: \[ 16200 = 270a - a^2 \]

Перепишем уравнение: \[ a^2 - 270a + 16200 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-270)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16200 = 72900 - 64800 = 8100 \]

Теперь найдем корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{270 \pm \sqrt{8100}}{2} \] Так как \( \sqrt{8100} = 90 \), получаем: \[ a = \frac{270 \pm 90}{2} \]

Это дает два решения:

1. \( a = \frac{360}{2} = 180 \)
2. \( a = \frac{180}{2} = 90 \)

Таким образом, у нас:

• \( a = 180 \) (время первого дизайнера)
• \( b = 270 - 180 = 90 \) (время второго дизайнера)

Теперь подведем итог:

• Первый дизайнер может оформить учебник за 180 часов.
• Второй дизайнер может оформить учебник за 90 часов.

Ответ: первый дизайнер — 180 часов, второй дизайнер — 90 часов.