Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р=0,5р=0,5 . Сколько патронов должен иметь стрелок перед…

Для решения этой задачи рассмотрим вероятности, связанные с выстрелами стрелка. Нам известно, что вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет \( p = 0,5 \). Мы хотим узнать, сколько выстрелов (патронов) стрелок должен сделать, чтобы вероятность хотя бы одного попадания в мишень была не менее \( 0,8 \).

Шаг 1: Определим вероятности

Вероятность того, что стрелок не попадет в мишень при одном выстреле, равна:

\[ q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5 \]

Если стрелок делает \( n \) выстрелов, то вероятность того, что он не попадет в мишень ни разу за \( n \) выстрелов будет равна:

\[ q^n = 0,5^n \]

Шаг 2: Найдем вероятность хотя бы одного попадания

Вероятность того, что стрелок попал хотя бы один раз в мишень, будет равна:

\[ P(\text{попадание}) = 1 - P(\text{не попадание}) = 1 - q^n = 1 - 0,5^n \]

Шаг 3: Установим неравенство

Мы хотим, чтобы вероятность попадания была не менее \( 0,8 \):

\[ 1 - 0,5^n \geq 0,8 \]

Шаг 4: Решим неравенство

Перепишем неравенство:

\[ 0,5^n \leq 0,2 \]

Теперь применим логарифмы для решения. Обычно берем логарифм по основанию 10 или натуральный логарифм, но это значение для данной задачи не критично:

\[ \log(0,5^n) \leq \log(0,2) \]

Используя свойства логарифмов:

\[ n \cdot \log(0,5) \leq \log(0,2) \]

Поскольку \( \log(0,5) \) отрицателен, логарифм неравенства меняет знак:

\[ n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)} \]

Шаг 5: Рассчитаем значение

Теперь нам нужно вычислить это значение:

• \( \log(0,2) \approx -0,6990 \)
• \( \log(0,5) \approx -0,3010 \)

Подставляем в формулу:

\[ n \geq \frac{-0,6990}{-0,3010} \approx 2,32 \]

Так как \( n \) — это количество выстрелов, мы округляем до целого числа. Значит, стрелок должен сделать не менее 3 выстрелов.

Ответ

Стрелок должен иметь 3 патрона, чтобы поразить мишень с вероятностью не менее 0,8.