Для решения этой задачи рассмотрим вероятности, связанные с выстрелами стрелка. Нам известно, что вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет ( p = 0,5 ). Мы хотим узнать, сколько выстрелов (патронов) стрелок должен сделать, чтобы вероятность хотя бы одного попадания в мишень была не менее ( 0,8 ).
Шаг 1: Определим вероятности
Вероятность того, что стрелок не попадет в мишень при одном выстреле, равна:
[
q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5
]
Если стрелок делает ( n ) выстрелов, то вероятность того, что он не попадет в мишень ни разу за ( n ) выстрелов будет равна:
[
q^n = 0,5^n
]
Шаг 2: Найдем вероятность хотя бы одного попадания
Вероятность того, что стрелок попал хотя бы один раз в мишень, будет равна:
[
P(\text{попадание}) = 1 - P(\text{не попадание}) = 1 - q^n = 1 - 0,5^n
]
Шаг 3: Установим неравенство
Мы хотим, чтобы вероятность попадания была не менее ( 0,8 ):
[
1 - 0,5^n \geq 0,8
]
Шаг 4: Решим неравенство
Перепишем неравенство:
[
0,5^n \leq 0,2
]
Теперь применим логарифмы для решения. Обычно берем логарифм по основанию 10 или натуральный логарифм, но это значение для данной задачи не критично:
[
\log(0,5^n) \leq \log(0,2)
]
Используя свойства логарифмов:
[
n \cdot \log(0,5) \leq \log(0,2)
]
Поскольку ( \log(0,5) ) отрицателен, логарифм неравенства меняет знак:
[
n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)}
]
Шаг 5: Рассчитаем значение
Теперь нам нужно вычислить это значение:
- ( \log(0,2) \approx -0,6990 )
- ( \log(0,5) \approx -0,3010 )
Подставляем в формулу:
[
n \geq \frac{-0,6990}{-0,3010} \approx 2,32
]
Так как ( n ) — это количество выстрелов, мы округляем до целого числа. Значит, стрелок должен сделать не менее 3 выстрелов.
Ответ
Стрелок должен иметь 3 патрона, чтобы поразить мишень с вероятностью не менее 0,8.
