реши
Дана функция трёх переменных:
\[ u = 2^{x+y^2+z^3} \]
Нам нужно найти выражение для полного дифференциала и определить множитель при \( dx \, dy \), убедившись, что результат выйдет в форме \( A \ln^2 2 \), где \( A \) — натуральное число.
Для начала, найдём частные производные функции:
- Частная производная по \( x \):
По правилу взятия производной экспоненциальной функции, частная производная от \( u \) по \( x \) будет:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(2^{x+y^2+z^3}\right) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x+y^2+z^3) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \]
- Частная производная по \( y \):
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(2^{x+y^2+z^3}\right) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x+y^2+z^3) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 2y \]
- Частная производная по \( z \):
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(2^{x+y^2+z^3}\right) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(x+y^2+z^3) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 3z^2 \]
Теперь найдём полный дифференциал:
\[ du = \frac{\partial u}{\partial x} \, dx + \frac{\partial u}{\partial y} \, dy + \frac{\partial u}{\partial z} \, dz \]
Подставим полученные частные производные:
\[ du = (2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2) \, dx + (2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 2y) \, dy + (2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 3z^2) \, dz \]
В задании просят найти множитель при \( dx \, dy \) в точке \( M(3; 2; 1) \):
Подставим соответствующие значения \( x = 3 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \):
\[ u = 2^{3+2^2+1^3} = 2^{3+4+1} = 2^8 = 256 \]
Теперь находим:
\[ \text{Множитель при } dx \, dy: 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 2y = 256 \cdot \ln 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024 \cdot \ln^2 2 \]
Таким образом:
\[ A \ln^2 2 = 1024 \ln^2 2 \]
Отсюда, \( A = 1024 \).
Ответ: 1024.
