Реши

Дана функция трёх переменных: \[ u = 2^{x+y^2+z^3} \] Нам нужно найти выражение для полного дифференциала и определить множитель при \( dx \, dy \), убедившись, что результат выйдет в форме \( A \ln^2 2 \), где \( A \) — натуральное число. Для начала, найдём частные производные функции: 1. **Частная производная по \( x \):** По правилу взятия производной экспоненциальной функции, частная производная от \( u \) по \( x \) будет: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(2^{x+y^2+z^3}\right) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x+y^2+z^3) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \] 2. **Частная производная по \( y \):** \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(2^{x+y^2+z^3}\right) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x+y^2+z^3) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 2y \] 3. **Частная производная по \( z \):** \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(2^{x+y^2+z^3}\right) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(x+y^2+z^3) = 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 3z^2 \] Теперь найдём полный дифференциал: \[ du = \frac{\partial u}{\partial x} \, dx + \frac{\partial u}{\partial y} \, dy + \frac{\partial u}{\partial z} \, dz \] Подставим полученные частные производные: \[ du = (2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2) \, dx + (2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 2y) \, dy + (2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 3z^2) \, dz \] В задании просят найти множитель при \( dx \, dy \) в точке \( M(3; 2; 1) \): Подставим соответствующие значения \( x = 3 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \): \[ u = 2^{3+2^2+1^3} = 2^{3+4+1} = 2^8 = 256 \] Теперь находим: \[ \text{Множитель при } dx \, dy: 2^{x+y^2+z^3} \cdot \ln 2 \cdot 2y = 256 \cdot \ln 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024 \cdot \ln^2 2 \] Таким образом: \[ A \ln^2 2 = 1024 \ln^2 2 \] Отсюда, \( A = 1024 \). **Ответ: 1024**.