В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 320 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Изучим заданные данные: У нас есть следующие акции: 100, 200, 300, 400 и 500 рублей. Средняя цена акций акционера Б. равна 288 рублей.
Обозначим количество акций, которые были у акционера до покупки последней акции, как \( n \).
Формула для средней цены: Средняя цена акций рассчитывается по формуле: \[ \text{Средняя цена} = \frac{\text{Суммарная стоимость акций}}{\text{Количество акций}} \]
Поскольку средняя цена акций Б. равна 288 рублей, можно записать уравнение: \[ \frac{S}{n} = 288 \] Отсюда следует, что суммарная стоимость акций (\( S \)) равна: \[ S = 288n \]
После покупки новой акции: Теперь Б. купил ещё одну акцию за 500 рублей, и общее количество акций стало \( n + 1 \). Новая средняя цена акций теперь определяется следующим образом: \[ \frac{S + 500}{n + 1} \]
Мы знаем, что эта новая средняя цена не достигла 320 рублей. Запишем это в виде неравенства: \[ \frac{S + 500}{n + 1} < 320 \]
Подставим выражение для \( S \): Заменим \( S \) на \( 288n \): \[ \frac{288n + 500}{n + 1} < 320 \]
Умножаем обе стороны на \( n + 1 \) (при условии, что \( n + 1 > 0 \)): \[ 288n + 500 < 320(n + 1) \]
Раскроем скобки и упростим: \[ 288n + 500 < 320n + 320 \]
Переносим все члены с \( n \) в одну сторону: \[ 500 - 320 < 320n - 288n \] \[ 180 < 32n \]
Делим обе стороны на 32, чтобы получить значение \( n \): \[ n > \frac{180}{32} \approx 5.625 \]
Поскольку \( n \) должно быть целым числом, минимальное целое значение \( n \) должно быть равно 6.
Проверка: Если \( n = 6 \), то: \[ S = 288 \times 6 = 1728 \] После покупки последней акции: \[ \frac{1728 + 500}{6 + 1} = \frac{2228}{7} \approx 318.29 \] Это значение меньше 320, что соответствует условию задачи.
Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у акционера Б. до покупки последней акции, равно 6.
