В мешке у Деда Мороза лежат  7 7 карамельных и  5 5 шоколадных конфет. Конфеты вытаскивают по одной в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз шоколадную конфету вытащат четвёртой по счёту? Результат округли до сотых.

Для решения этой задачи давайте внимательно рассмотрим условия. У нас есть: - 7 карамельных конфет - 5 шоколадных конфет Всего конфет: \[ 7 + 5 = 12 \] Нам нужно найти вероятность того, что четвёртая вытянутая конфета будет шоколадной. ### Шаг 1: Понимание условия Для того чтобы четвёртая конфета была шоколадной, в первых трёх вытянутых конфетах не должно быть ни одной шоколадной конфеты. Это значит, что первые три конфеты должны быть только карамельными. ### Шаг 2: Вычисляем количество благоприятных случаев 1. Первые три конфеты должны быть карамельными. - Мы можем выбрать 3 карамельные конфеты из 7. Количество способов выбрать 3 карамельные конфеты: \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \] (Обратите внимание, что нам это не окончательная формула, так как мы смотрим на каждый шаг вероятности.) 2. Четвёртая конфета — шоколадная. У нас все еще осталось 5 шоколадных конфет. 3. После того, как мы вытянули 3 карамельные конфеты, в мешке остаются: - 4 карамельные конфеты - 5 шоколадных конфет Теперь можем посчитать количество благоприятных случаев. ### Шаг 3: Вычисляем общее количество способов Количество всех способов выбрать 4 конфеты из 12: \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \] ### Шаг 4: Вероятность Теперь мы можем найти вероятность того, что четвёртая конфета будет шоколадной: Вероятность того, что первые три конфеты - карамельные и четвёртая — шоколадная: \[ P = \frac{(число благоприятных случаев)}{(общее количество способов)} = \frac{C(7, 3) \cdot 5} {C(12, 4)} \] Число благоприятных случаев — это количество способов выбрать 3 карамельные конфеты и 1 шоколадную. Для упрощения процесса, можно выразить через вероятность: \[ P = P(1-й карамельный) \cdot P(2-й карамельный) \cdot P(3-й карамельный) \cdot P(4-й шоколадный) \] Где: - Вероятность вытащить первую карамельную: \( \frac{7}{12} \) - Вероятность вытащить вторую карамельную: \( \frac{6}{11} \) - Вероятность вытащить третью карамельную: \( \frac{5}{10} \) - Вероятность вытащить шоколадную: \( \frac{5}{9} \) Так, общая вероятность: \[ P = \left(\frac{7}{12}\right) \cdot \left(\frac{6}{11}\right) \cdot \left(\frac{5}{10}\right) \cdot \left(\frac{5}{9}\right) \] ### Шаг 5: Вычисление Вычислим: \[ P = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5}{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} \] Вычисляем числитель и знаменатель: \[ P = \frac{1050}{11880} = \frac{35}{396} \approx 0.0884 \] ### Округление до сотых Округляем до двух десятичных знаков: \[ P \approx 0.09 \] Таким образом, вероятность того, что первая шоколадная конфета будет вытянута четвёртой по счёту, равна **0.09** или **9%**.