В мешке у Деда Мороза лежат 7 7 карамельных и 5 5 шоколадных конфет. Конфеты вытаскивают по одной в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз шоколадную конфету…

Для решения этой задачи давайте внимательно рассмотрим условия. У нас есть:

• 7 карамельных конфет
• 5 шоколадных конфет

Всего конфет: \[ 7 + 5 = 12 \]

Нам нужно найти вероятность того, что четвёртая вытянутая конфета будет шоколадной.

Шаг 1: Понимание условия

Для того чтобы четвёртая конфета была шоколадной, в первых трёх вытянутых конфетах не должно быть ни одной шоколадной конфеты. Это значит, что первые три конфеты должны быть только карамельными.

Шаг 2: Вычисляем количество благоприятных случаев

1. Первые три конфеты должны быть карамельными.

   • Мы можем выбрать 3 карамельные конфеты из 7. Количество способов выбрать 3 карамельные конфеты: \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]

   (Обратите внимание, что нам это не окончательная формула, так как мы смотрим на каждый шаг вероятности.)

2. Четвёртая конфета — шоколадная. У нас все еще осталось 5 шоколадных конфет.

3. После того, как мы вытянули 3 карамельные конфеты, в мешке остаются:

   • 4 карамельные конфеты
   • 5 шоколадных конфет

Теперь можем посчитать количество благоприятных случаев.

Шаг 3: Вычисляем общее количество способов

Количество всех способов выбрать 4 конфеты из 12:

\[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \]

Шаг 4: Вероятность

Теперь мы можем найти вероятность того, что четвёртая конфета будет шоколадной:

Вероятность того, что первые три конфеты - карамельные и четвёртая — шоколадная:

\[ P = \frac{(число благоприятных случаев)}{(общее количество способов)} = \frac{C(7, 3) \cdot 5} {C(12, 4)} \]

Число благоприятных случаев — это количество способов выбрать 3 карамельные конфеты и 1 шоколадную.

Для упрощения процесса, можно выразить через вероятность:

\[ P = P(1-й карамельный) \cdot P(2-й карамельный) \cdot P(3-й карамельный) \cdot P(4-й шоколадный) \]

Где:

• Вероятность вытащить первую карамельную: \( \frac{7}{12} \)
• Вероятность вытащить вторую карамельную: \( \frac{6}{11} \)
• Вероятность вытащить третью карамельную: \( \frac{5}{10} \)
• Вероятность вытащить шоколадную: \( \frac{5}{9} \)

Так, общая вероятность:

\[ P = \left(\frac{7}{12}\right) \cdot \left(\frac{6}{11}\right) \cdot \left(\frac{5}{10}\right) \cdot \left(\frac{5}{9}\right) \]

Шаг 5: Вычисление

Вычислим:

\[ P = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5}{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} \]

Вычисляем числитель и знаменатель:

\[ P = \frac{1050}{11880} = \frac{35}{396} \approx 0.0884 \]

Округление до сотых

Округляем до двух десятичных знаков:

\[ P \approx 0.09 \]

Таким образом, вероятность того, что первая шоколадная конфета будет вытянута четвёртой по счёту, равна 0.09 или 9%.