Для решения задачи давайте обозначим количество игрушечных машинок у Алика как ( x ).
Согласно условиям задачи, у него есть две ситуации:
Когда он ставит машинки в ряды по 10 и остаётся 6 лишних. Это можно записать как:
[
x \equiv 6 \mod 10
]
Это означает, что ( x ) при делении на 10 даёт в остатке 6. То есть, ( x ) можно записать в форме:
[
x = 10k + 6
]
для некоторого целого числа ( k ).
Когда он ставит машинки в ряды по 7 и лишних не остаётся. Это можно записать как:
[
x \equiv 0 \mod 7
]
Это означает, что ( x ) делится на 7 без остатка.
Теперь у нас есть две уравнения:
- ( x = 10k + 6 )
- ( x \equiv 0 \mod 7 )
Теперь подставим первое уравнение во второе:
[
10k + 6 \equiv 0 \mod 7
]
Чтобы решить это, давайте упростим ( 10k + 6 ) по модулю 7:
[
10 \equiv 3 \mod 7 \implies 10k \equiv 3k \mod 7
]
Теперь подставим это в уравнение:
[
3k + 6 \equiv 0 \mod 7 \implies 3k \equiv -6 \mod 7
]
Так как (-6 \equiv 1 \mod 7), у нас получается:
[
3k \equiv 1 \mod 7
]
Теперь нужно найти ( k ). Мы ищем обратное число к 3 по модулю 7. Проверим, какое значение ( k ) удовлетворяет этому уравнению:
- ( k = 0 ): ( 3 \cdot 0 \equiv 0 )
- ( k = 1 ): ( 3 \cdot 1 \equiv 3 )
- ( k = 2 ): ( 3 \cdot 2 \equiv 6 )
- ( k = 3 ): ( 3 \cdot 3 \equiv 2 )
- ( k = 4 ): ( 3 \cdot 4 \equiv 5 )
- ( k = 5 ): ( 3 \cdot 5 \equiv 1 ) (нашли)
То есть ( k \equiv 5 \mod 7 ), а значит:
[
k = 7m + 5
]
где ( m ) — целое число. Подставим это значение ( k ) в уравнение для ( x ):
[
x = 10(7m + 5) + 6 = 70m + 50 + 6 = 70m + 56
]
Теперь ( x \equiv 56 \mod 70 ).
Теперь найдем значения ( x ) такие, что ( x > 40 ) и ( x < 70 ):
- Если ( m = 0 ): ( x = 56 )
Проверим:
- ( 56 \div 10 = 5) (остаток 6) — подходит.
- ( 56 \div 7 = 8) (без остатка) — подходит.
Таким образом, количество машинок у Алика:
[
\boxed{56}
]
