у Алика есть игрушечные машинки. Сначала он поставил их в ряды по 10 машинок, и у него осталось 6 лишних. Тогда Алик построил машинки в ряды по 7, и лишних не осталось. Сколько…
У Алика есть игрушечные машинки. Сначала он поставил их в ряды по 10 машинок, и у него осталось 6 лишних. Тогда Алик построил машинки в ряды по 7, и лишних не осталось. Сколько машинок у Алика, если их больше 40, но меньше 70?
Для решения задачи давайте обозначим количество игрушечных машинок у Алика как \( x \).
Согласно условиям задачи, у него есть две ситуации:
Когда он ставит машинки в ряды по 10 и остаётся 6 лишних. Это можно записать как: \[ x \equiv 6 \mod 10 \] Это означает, что \( x \) при делении на 10 даёт в остатке 6. То есть, \( x \) можно записать в форме: \[ x = 10k + 6 \] для некоторого целого числа \( k \).
Когда он ставит машинки в ряды по 7 и лишних не остаётся. Это можно записать как: \[ x \equiv 0 \mod 7 \] Это означает, что \( x \) делится на 7 без остатка.
Теперь у нас есть две уравнения:
- \( x = 10k + 6 \)
- \( x \equiv 0 \mod 7 \)
Теперь подставим первое уравнение во второе: \[ 10k + 6 \equiv 0 \mod 7 \]
Чтобы решить это, давайте упростим \( 10k + 6 \) по модулю 7: \[ 10 \equiv 3 \mod 7 \implies 10k \equiv 3k \mod 7 \] Теперь подставим это в уравнение: \[ 3k + 6 \equiv 0 \mod 7 \implies 3k \equiv -6 \mod 7 \] Так как \(-6 \equiv 1 \mod 7\), у нас получается: \[ 3k \equiv 1 \mod 7 \]
Теперь нужно найти \( k \). Мы ищем обратное число к 3 по модулю 7. Проверим, какое значение \( k \) удовлетворяет этому уравнению:
- \( k = 0 \): \( 3 \cdot 0 \equiv 0 \)
- \( k = 1 \): \( 3 \cdot 1 \equiv 3 \)
- \( k = 2 \): \( 3 \cdot 2 \equiv 6 \)
- \( k = 3 \): \( 3 \cdot 3 \equiv 2 \)
- \( k = 4 \): \( 3 \cdot 4 \equiv 5 \)
- \( k = 5 \): \( 3 \cdot 5 \equiv 1 \) (нашли)
То есть \( k \equiv 5 \mod 7 \), а значит: \[ k = 7m + 5 \] где \( m \) — целое число. Подставим это значение \( k \) в уравнение для \( x \): \[ x = 10(7m + 5) + 6 = 70m + 50 + 6 = 70m + 56 \] Теперь \( x \equiv 56 \mod 70 \).
Теперь найдем значения \( x \) такие, что \( x > 40 \) и \( x < 70 \):
- Если \( m = 0 \): \( x = 56 \)
Проверим:
- \( 56 \div 10 = 5\) (остаток 6) — подходит.
- \( 56 \div 7 = 8\) (без остатка) — подходит.
Таким образом, количество машинок у Алика: \[ \boxed{56} \]
