Хорошо, давай решим каждую из предложенных задач поэтапно.
Задача 1: Решение системы уравнений методом подстановки
Система уравнений:
- ( x + y = 5 )
- ( xy = 6 )
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из первого уравнения.
Из уравнения ( x + y = 5 ) выразим ( y ):
[
y = 5 - x
]
Шаг 2: Подставим ( y ) во второе уравнение.
Подставим найденное ( y ) в уравнение ( xy = 6 ):
[
x(5 - x) = 6
]
Шаг 3: Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду.
[
5x - x^2 = 6
]
[
-x^2 + 5x - 6 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 5x + 6 = 0 \quad (\text{умножили на -1})
]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.
Мы можем разложить его на множители:
[
(x - 2)(x - 3) = 0
]
Отсюда ( x = 2 ) или ( x = 3 ).
Шаг 5: Найдем соответствующие значения ( y ).
Если ( x = 2 ):
[
y = 5 - 2 = 3
]
Если ( x = 3 ):
[
y = 5 - 3 = 2
]
Ответ: Система имеет два решения:
( (2, 3) ) и ( (3, 2) ).
Задача 2: Решение системы уравнений методом сложения
Система уравнений:
- ( 3x - 2y = 5 )
- ( 2x + 5y = 16 )
Шаг 1: Умножим первое уравнение на 5, чтобы коэффициент ( y ) стал равным, и второе уравнение на 2, чтобы соответствующее уравнение стало:
[
15x - 10y = 25 \quad (1)
]
[
4x + 10y = 32 \quad (2)
]
Шаг 2: Сложим уравнения.
Складываем (1) и (2):
[
15x - 10y + 4x + 10y = 25 + 32
]
[
19x = 57
]
Шаг 3: Найдем ( x ).
[
x = \frac{57}{19} = 3
]
Шаг 4: Подставим значение ( x ) в одно из уравнений, чтобы найти ( y ).
Подставим в первое уравнение:
[
3(3) - 2y = 5
]
[
9 - 2y = 5
]
[
-2y = 5 - 9
]
[
-2y = -4 \quad \Rightarrow \quad y = 2
]
Ответ: Решение системы уравнений: ( (3, 2) ).
Задача 3: Решение системы уравнений графическим способом
Система уравнений:
- ( x + y = 1 )
- ( x^2 + y^2 = 25 )
Шаг 1: Найдем уравнение первой прямой.
Из первого уравнения выразим ( y ):
[
y = 1 - x
]
Шаг 2: Подставим ( y ) во второе уравнение.
Подставим:
[
x^2 + (1 - x)^2 = 25
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (1 - 2x + x^2) = 25
]
[
2x^2 - 2x + 1 = 25
]
[
2x^2 - 2x - 24 = 0
]
[
x^2 - x - 12 = 0
]
Шаг 3: Разложим квадратное уравнение.
[
(x - 4)(x + 3) = 0
]
Отсюда:
[
x = 4 \quad или \quad x = -3
]
Шаг 4: Подставим значения ( x ) обратно для нахождения ( y ).
Если ( x = 4 ):
[
y = 1 - 4 = -3
]
Если ( x = -3 ):
[
y = 1 - (-3) = 4
]
Ответ: Точки пересечения:
( (4, -3) ) и ( (-3, 4) ).
Мы разобрали и подробно решили каждую задачу. Если будут дополнительные вопросы, не стесняйся их задавать!
