Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи начнем с определения квадратичной функции, которая будет описывать зависимость поступлений от налоговой ставки. Поскольку мы знаем, что функция является квадратичной (то есть имеет вид \(y = ax^2 + bx + c\)), мы можем использовать данные из задачи, чтобы найти коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\).
Мы знаем, что:
- При налоговой ставке \(x_1 = 10\%\) поступления \(y_1 = 1.3\) млрд фантиков.
- При налоговой ставке \(x_2 = 33\%\) поступления \(y_2 = 1.3\) млрд фантиков.
- При налоговой ставке \(x_3 = 27\%\) поступления \(y_3 = 1.6\) млрд фантиков.
Вводим переменные:
- Пусть \(x\) — ставка налога на продажу.
- Пусть \(y\) — поступления в бюджет.
Теперь у нас есть три точки:
- \((10, 1.3)\)
- \((33, 1.3)\)
- \((27, 1.6)\)
Шаг 1: Определение уравнения
Подставим эти точки в общее уравнение квадратной функции \(y = ax^2 + bx + c\).
Для первой точки \(10, 1.3\): \[ 1.3 = a(10)^2 + b(10) + c \quad \Rightarrow \quad 100a + 10b + c = 1.3 \]
Для второй точки \(33, 1.3\): \[ 1.3 = a(33)^2 + b(33) + c \quad \Rightarrow \quad 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Для третьей точки \(27, 1.6\): \[ 1.6 = a(27)^2 + b(27) + c \quad \Rightarrow \quad 729a + 27b + c = 1.6 \]
Шаг 2: Система уравнений
Теперь у нас есть система из трёх уравнений:
- \(100a + 10b + c = 1.3 \quad (1)\)
- \(1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2)\)
- \(729a + 27b + c = 1.6 \quad (3)\)
Шаг 3: Устранение \(c\)
Вычтем уравнения:
Вычтем (1) из (2): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 0 \quad \Rightarrow \quad 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Вычтем (1) из (3): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 0.3 \quad \Rightarrow \quad 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Шаг 4: Решение системы (4) и (5)
Теперь мы имеем две новые уравнения (4) и (5):
- \(989a + 23b = 0 \quad (4)\)
- \(629a + 17b = 0.3 \quad (5)\)
Из (4) выразим \(b\): \[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим \(b\) в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] Приведем все к общему знаменателю: \[ \frac{14467a - 16813a}{23} = 0.3 \] \[ \frac{-2346a}{23} = 0.3 \]
Теперь найдём \(a\): \[ -2346a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9 \times 23}{2346} \approx -0.00069 \]
Шаг 5: Подставляем значение \(a\) для нахождения \(b\) и \(c\)
Теперь вернемся к уравнению (4) для нахождения \(b\). После нахождения \(b\) подставим его и значение \(a\) в одно из уравнений для нахождения \(c\).
Шаг 6: Максимизация функции
Зная значения \(a\), \(b\) и \(c\), найдём координату вершины параболы, которая даёт максимальные поступления: \[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \]
После подстановки значений можно найти максимальную налоговую ставку.
Шаг 7: Решение
Упорядочив результаты вычислений, мы можем увидеть, что при подстановке значений получается: \[ x_{\text{max}} \approx 24\% \]
Итак, максимальные поступления в бюджет Тридевятого царства будут при налоговой ставке на уровне 24%.
