Чтобы найти вероятность того, что при четырех бросках симметричной монеты орел выпадет ровно один раз, мы можем использовать формулу для вычисления вероятности определенного количества успешных исходов в бинарном эксперименте.
Шаг 1: Определение параметров
- Количество бросков (n): 4 (монета бросается 4 раза).
- Количество успешных исходов (k): 1 (орел должен выпасть ровно один раз).
- Вероятность успеха (p): Для симметричной монеты вероятность выпадения орла при одном броске составляет 0.5.
- Вероятность неуспеха (q): Это вероятность того, что выпадет решка. q = 1 - p = 0.5.
Шаг 2: Формула для вычисления вероятности
Мы можем использовать биномиальную формулу для вычисления вероятности того, что произойдет ровно k успешных исходов (в нашем случае — 1 орел из 4 бросков):
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} ]
где ( C(n, k) ) — число сочетаний из n по k, считающееся по формуле:
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
Шаг 3: Подсчёт отдельных частей
Найдём число сочетаний ( C(4, 1) ):
[
C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} = 4
]
Подсчитаем ( p^k ) и ( q^{n-k} ):
- ( p^1 = (0.5)^1 = 0.5 )
- ( q^{4-1} = (0.5)^3 = 0.125 )
Шаг 4: Подставим все в формулу
Теперь подставим всё в формулу для вероятности:
[
P(X = 1) = C(4, 1) \cdot p^1 \cdot q^{4-1}
]
[
P(X = 1) = 4 \cdot 0.5 \cdot 0.125
]
[
P(X = 1) = 4 \cdot 0.5 \cdot 0.125 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25
]
Шаг 5: Ответ
Вероятность того, что при четырех бросках симметричной монеты орел выпадет ровно один раз, составляет 0.25, или 25%.
Таким образом, ответ на задачу: вероятность события, что орел выпал ровно один раз, равна 25%.
