Если и + v + w = 0, то выражение 5(u³ + v³ + w³) (u² + v² + w²) тождественно равно...

Чтобы решить задачу, воспользуемся известной формулой для суммы кубов и свойствами, которые мы знаем о числах. Начнем с данных:

У нас есть равенство: \[ u + v + w = 0 \]

Нам нужно упростить выражение: \[ 5(u^3 + v^3 + w^3)(u^2 + v^2 + w^2) \]

Шаг 1: Упрощение суммы кубов

Мы знаем следующую формулу для суммы кубов, когда сумма \( u + v + w = 0 \): \[ u^3 + v^3 + w^3 = 3uvw \]

Давайте подставим это в выражение: \[ u^3 + v^3 + w^3 = 3uvw \]

Теперь выражение становится: \[ 5(3uvw)(u^2 + v^2 + w^2) = 15uvw(u^2 + v^2 + w^2) \]

Шаг 2: Упрощение квадрата суммы

Теперь нам нужно упростить \( u^2 + v^2 + w^2 \). Мы можем воспользоваться следующим соотношением: \[ u^2 + v^2 + w^2 = (u + v + w)^2 - 2(uv + vw + wu) \]

Подставляя \( u + v + w = 0 \): \[ u^2 + v^2 + w^2 = 0^2 - 2(uv + vw + wu) = -2(uv + vw + wu) \]

Шаг 3: Подставим обратно

Теперь подставим это обратно в наше выражение: \[ 15uvw(u^2 + v^2 + w^2) = 15uvw(-2(uv + vw + wu)) \] \[ = -30uvw(uv + vw + wu) \]

Итог

Таким образом, выражение \( 5(u^3 + v^3 + w^3)(u^2 + v^2 + w^2) \) тождественно равно: \[ -30uvw(uv + vw + wu) \]

Это и есть ответ на задачу. Надеюсь, объяснение помогло вам лучше понять, как проводить подобные преобразования! Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать.