В треугольнике 𝑀 𝑁 𝐾 MNK ∠ 𝑀 = 90 ° ∠M=90° , ∠ 𝑁 = 45 ° ∠N=45° , 𝑀 𝑁 = 27 2 MN=27 2 ​ . Чему равна гипотенуза этого треугольника?

Для решения данной задачи сначала определим, что у нас есть прямоугольный треугольник \( MNK \), где угол \( M \) равен \( 90^\circ \), угол \( N \) равен \( 45^\circ \), и длина стороны \( MN \) равна \( 27\sqrt{2} \).

Шаг 1: Определим угол \( K \)

Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), мы можем найти угол \( K \):

\[ \angle K = 180^\circ - \angle M - \angle N = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \]

Таким образом, у нас есть:

• \( \angle M = 90^\circ \)
• \( \angle N = 45^\circ \)
• \( \angle K = 45^\circ \)

Шаг 2: Применим свойства равнобедренного треугольника

В треугольнике с двумя углами по \( 45^\circ \) (углы \( N \) и \( K \)) стороны, противолежащие этим углам, равны. Это значит, что:

\[ MN = NK \]

Шаг 3: Найдем длину стороны \( NK \)

Поскольку \( MN = 27\sqrt{2} \), то \( NK \) тоже будет равно \( 27\sqrt{2} \):

\[ NK = MN = 27\sqrt{2} \]

Шаг 4: Найдем гипотенузу \( MK \)

В прямоугольном треугольнике мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу:

\[ MK^2 = MN^2 + NK^2 \]

Теперь подставим значения:

\[ MK^2 = (27\sqrt{2})^2 + (27\sqrt{2})^2 \] \[ MK^2 = 729 \cdot 2 + 729 \cdot 2 \] \[ MK^2 = 1458 + 1458 = 2916 \]

Теперь находим \( MK \):

\[ MK = \sqrt{2916} = 54 \]

Ответ

Таким образом, гипотенуза треугольника \( MNK \) равна \( 54 \).