решить

Давайте разберём каждую из представленных задач по шагам.

1. Интеграл: \(\int \left(2x^{11} - \frac{3}{x^5} + 5x - \frac{9}{x}\right) \, dx\)

Чтобы решить этот интеграл, используем правило интегрирования каждого слагаемого отдельно.

\[ \int 2x^{11} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{12}}{12} = \frac{x^{12}}{6} \]

\[ \int -\frac{3}{x^5} \, dx = -3 \int x^{-5} \, dx = -3 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = \frac{3}{4}x^{-4} \]

\[ \int 5x \, dx = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5x^2}{2} \]

\[ \int -\frac{9}{x} \, dx = -9 \int x^{-1} \, dx = -9 \ln |x| \]

Сложив все части, получаем: \[ \frac{x^{12}}{6} + \frac{3}{4}x^{-4} + \frac{5x^2}{2} - 9 \ln |x| + C \]

2. Интеграл: \(\int e^{8-13x} \, dx\)

Для этого интеграла используем подстановку. Пусть \(u = 8 - 13x\), тогда \(du = -13 \, dx\), отсюда \(dx = -\frac{1}{13} \, du\).

\[ \int e^{8-13x} \, dx = \int e^u \cdot \left(-\frac{1}{13}\right) \, du = -\frac{1}{13} e^u + C \]

Подставим обратно \(u = 8 - 13x\): \[ -\frac{1}{13} e^{8-13x} + C \]

3. Интеграл: \(\int \frac{dx}{5 + x}\)

Этот интеграл является простым логарифмическим интегралом: \[ \int \frac{1}{5 + x} \, dx = \ln |5 + x| + C \]

4. Интеграл: \(\int \frac{dx}{3x^2 + 7}\)

Для этого интеграла обратите внимание, что он похож на форму \(\int \frac{1}{a^2 + u^2} \, du\), результатом которого является: \[ \frac{1}{a} \tan^{-1} \left(\frac{u}{a}\right) + C \]

Однако здесь не может быть упрощённым задачей средней школы, поэтому можем оставить в этой форме, если не предполагаем дальнейшего упрощения.

5. Интеграл: \(\int 5 \cos \left(\frac{\pi}{3} + 7\right) dx\)

В этом методе интегрирования используется прямая формула для косинуса: \[ \int \cos kx \, dx = \frac{1}{k} \sin kx + C \]

Если константы \(k = 0\), то необходимо пересчитать задачу с константами или подстановками.

Для всех представленных задач ответом является общее понимание техники интеграции: использование правил интегрирования степеней, логарифмов и тригонометрических функций с возможным применением подстановок.