tg³ 45°* sin 45° : tg ² 30° : sin ³ 45°

Для решения задачи нам нужно разобраться с тригонометрическими функциями и их свойствами. Сначала найдем значения тригонометрических функций в углах 30° и 45°.

Шаг 1: Вычисление значений тригонометрических функций

1. Синус и тангенс 45°:

   • \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   • \(\tan 45° = 1\)

2. Синус и тангенс 30°:

   • \(\sin 30° = \frac{1}{2}\)
   • \(\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Шаг 2: Подставим значения в выражение

Теперь подставим полученные значения в изначальное выражение:

\[ \tan^3 45° \cdot \sin 45° : \tan^2 30° : \sin^3 45° \]

Сначала подставим значения: \[ 1^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} : \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 : \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 \]

Шаг 3: Упростим каждую часть выражения

1. Первое слагаемое: \[ 1^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Второе слагаемое: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \]

3. Третье слагаемое: \[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{(\sqrt{2})^3}{2^3} = \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Теперь мы можем подставить полученные значения обратно в выражение:

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{1}{3} : \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Шаг 4: Работа с делением

Чтобы упростить это выражение, давайте рассмотрим деление в виде умножения на обратные значения:

1. Первое деление: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

2. Второе деление: \[ \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Ответ

Таким образом, окончательный ответ выражения \( \tan^3 45° \cdot \sin 45° : \tan^2 30° : \sin^3 45° \) равен \( 6 \).