б) 4x² + 9x + 2 < 0 a) x² + x + 6 > 0
Для решения неравенств \( a) \, x^2 + x + 6 > 0 \) и \( b) \, 4x^2 + 9x + 2 < 0 \) мы будем последовательно разбирать каждое из них.
Задача a) \( x^2 + x + 6 > 0 \)
Определим дискриминант. Дискриминантом квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) является \( D = b^2 - 4ac \). Здесь \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 6 \). \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 \]
Анализируем дискриминант. Поскольку дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), это означает, что уравнение \( x^2 + x + 6 = 0 \) не имеет вещественных корней. Функция \( x^2 + x + 6 \) всегда положительна, так как парабола открыта вверх.
Следовательно, неравенство \( x^2 + x + 6 > 0 \) выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Задача b) \( 4x^2 + 9x + 2 < 0 \)
Определим дискриминант. Здесь \( a = 4 \), \( b = 9 \), \( c = 2 \). Вычислим дискриминант: \[ D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 \]
Найдем корни уравнения \( 4x^2 + 9x + 2 = 0 \), используя формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 \pm 7}{8} \] Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-9 + 7}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}, \quad x_2 = \frac{-9 - 7}{8} = \frac{-16}{8} = -2 \]
Построим интервал. Корни \( x_1 = -\frac{1}{4} \) и \( x_2 = -2 \) разделяют ось \( x \) на три интервала:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, -\frac{1}{4}) \)
- \( (-\frac{1}{4}, +\infty) \)
Тестируем знаки на каждом интервале.
- Для интервала \( (-\infty, -2) \) выбираем \( x = -3 \): \[ 4(-3)^2 + 9(-3) + 2 = 36 - 27 + 2 = 11 \quad (> 0) \]
- Для интервала \( (-2, -\frac{1}{4}) \) выбираем \( x = -1 \): \[ 4(-1)^2 + 9(-1) + 2 = 4 - 9 + 2 = -3 \quad (< 0) \]
- Для интервала \( (-\frac{1}{4}, +\infty) \) выбираем \( x = 0 \): \[ 4(0)^2 + 9(0) + 2 = 2 \quad (> 0) \]
Вывод. Неравенство \( 4x^2 + 9x + 2 < 0 \) выполняется только на интервале \( (-2, -\frac{1}{4}) \).
Ответы:
- a) \( x^2 + x + 6 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).
- b) \( 4x^2 + 9x + 2 < 0 \) для \( x \in (-2, -\frac{1}{4}) \).
