14. В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 мест, а в шестом ряду 24 места. Сколько всего мест…

Для решения этой задачи давайте обозначим:

• \( n \) — количество мест в первом ряду,
• \( d \) — количество мест, которое прибавляется в каждом следующем ряду.

По условию задачи мы знаем, что:

• В третьем ряду 12 мест, значит, можем записать уравнение для третьего ряда: \[ n + 2d = 12 \quad \text{(1)} \] (мы добавляем \( d \) дважды, чтобы получить количество мест в третьем ряду).

• В шестом ряду 24 места, значит, для шестого ряда: \[ n + 5d = 24 \quad \text{(2)} \] (добавляем \( d \) пять раз для шестого ряда).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( n + 2d = 12 \)
2. \( n + 5d = 24 \)

Давайте вычтем первое уравнение из второго: \[ (n + 5d) - (n + 2d) = 24 - 12 \] Упрощая, получаем: \[ 3d = 12 \] Отсюда: \[ d = 4 \]

Теперь подставим \( d \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( n \): \[ n + 2 \cdot 4 = 12 \] \[ n + 8 = 12 \] \[ n = 4 \]

Теперь мы знаем, что в первом ряду \( n = 4 \) мест, а в каждом следующем ряду прибавляется \( d = 4 \) места. Теперь можем найти количество мест в каждом ряду от 1 до 15.

Формула для количества мест в \( k \)-ом ряду: \[ m_k = n + (k - 1) \cdot d \] Подставляя \( n \) и \( d \), получаем: \[ m_k = 4 + (k - 1) \cdot 4 = 4k \]

Теперь найдем общее количество мест в амфитеатре, складывая количество мест от 1 до 15-го ряда: \[ S = m_1 + m_2 + m_3 + \ldots + m_{15} \]

Так как \( m_k = 4k \), то: \[ S = 4(1 + 2 + 3 + \ldots + 15) \]

Сумма первых \( n \) натуральных чисел вычисляется по формуле: \[ \frac{n(n + 1)}{2} \] Для \( n = 15 \): \[ 1 + 2 + 3 + \ldots + 15 = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120 \]

Теперь подставим это значение в выражение для \( S \): \[ S = 4 \cdot 120 = 480 \]

Таким образом, общее количество мест в амфитеатре равно 480 мест.