Для решения этой задачи давайте обозначим:
- ( n ) — количество мест в первом ряду,
- ( d ) — количество мест, которое прибавляется в каждом следующем ряду.
По условию задачи мы знаем, что:
В третьем ряду 12 мест, значит, можем записать уравнение для третьего ряда:
[
n + 2d = 12 \quad \text{(1)}
]
(мы добавляем ( d ) дважды, чтобы получить количество мест в третьем ряду).
В шестом ряду 24 места, значит, для шестого ряда:
[
n + 5d = 24 \quad \text{(2)}
]
(добавляем ( d ) пять раз для шестого ряда).
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( n + 2d = 12 )
- ( n + 5d = 24 )
Давайте вычтем первое уравнение из второго:
[
(n + 5d) - (n + 2d) = 24 - 12
]
Упрощая, получаем:
[
3d = 12
]
Отсюда:
[
d = 4
]
Теперь подставим ( d ) обратно в первое уравнение, чтобы найти ( n ):
[
n + 2 \cdot 4 = 12
]
[
n + 8 = 12
]
[
n = 4
]
Теперь мы знаем, что в первом ряду ( n = 4 ) мест, а в каждом следующем ряду прибавляется ( d = 4 ) места. Теперь можем найти количество мест в каждом ряду от 1 до 15.
Формула для количества мест в ( k )-ом ряду:
[
m_k = n + (k - 1) \cdot d
]
Подставляя ( n ) и ( d ), получаем:
[
m_k = 4 + (k - 1) \cdot 4 = 4k
]
Теперь найдем общее количество мест в амфитеатре, складывая количество мест от 1 до 15-го ряда:
[
S = m_1 + m_2 + m_3 + \ldots + m_{15}
]
Так как ( m_k = 4k ), то:
[
S = 4(1 + 2 + 3 + \ldots + 15)
]
Сумма первых ( n ) натуральных чисел вычисляется по формуле:
[
\frac{n(n + 1)}{2}
]
Для ( n = 15 ):
[
1 + 2 + 3 + \ldots + 15 = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120
]
Теперь подставим это значение в выражение для ( S ):
[
S = 4 \cdot 120 = 480
]
Таким образом, общее количество мест в амфитеатре равно 480 мест.
