Чтобы решить задачу, рассмотрим два аспекта: вычисление длины дуги окружности и нахождение площади соответствующего кругового сектора. Мы будем использовать формулы, относящиеся к окружности.
1. Вычисление длины дуги окружности
Для нахождения длины дуги (L) окружности можно использовать следующую формулу:
[
L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}
]
где:
- (L) — длина дуги,
- (r) — радиус окружности,
- (\alpha) — градусная мера центрального угла (в нашем случае 72°),
- (\pi) — математическая константа, примерно равная 3.14.
Подставим известные значения в формулу:
- (r = 4) см,
- (\alpha = 72^\circ).
[
L = 2\pi \cdot 4 \cdot \frac{72}{360}
]
Теперь давайте упростим выражение:
Вычислим ( \frac{72}{360} ):
[
\frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 0.2
]
Теперь подставим это значение в формулу для длины дуги:
[
L = 2\pi \cdot 4 \cdot 0.2
]
Умножим:
[
L = 2 \cdot 4 \cdot 0.2 \cdot \pi = 1.6\pi
]
Приблизительно:
[
L \approx 1.6 \cdot 3.14 \approx 5.024 \text{ см}
]
Таким образом, длина дуги окружности составляет примерно 5.024 см.
2. Вычисление площади кругового сектора
Площадь (S) кругового сектора можно вычислить по формуле:
[
S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}
]
Подставим известные значения:
- (r = 4) см,
- (\alpha = 72^\circ).
[
S = \pi \cdot (4^2) \cdot \frac{72}{360}
]
Теперь давайте работать с выражением:
Вычислим (4^2 = 16).
Подставим это значение в формулу:
[
S = \pi \cdot 16 \cdot \frac{72}{360}
]
Как мы уже вычисляли, (\frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 0.2).
Теперь продолжаем:
[
S = \pi \cdot 16 \cdot 0.2 = 3.2\pi
]
- Приблизительно:
[
S \approx 3.2 \cdot 3.14 \approx 10.05 \text{ см}^2
]
Таким образом, площадь кругового сектора составляет примерно 10.05 см².
Подводим итог:
- Длина дуги окружности: приблизительно 5.024 см.
- Площадь кругового сектора: приблизительно 10.05 см².
