Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если еë градусная мера равна 72°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора
Чтобы решить задачу, рассмотрим два аспекта: вычисление длины дуги окружности и нахождение площади соответствующего кругового сектора. Мы будем использовать формулы, относящиеся к окружности.
1. Вычисление длины дуги окружности
Для нахождения длины дуги \(L\) окружности можно использовать следующую формулу:
\[ L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \]
где:
- \(L\) — длина дуги,
- \(r\) — радиус окружности,
- \(\alpha\) — градусная мера центрального угла (в нашем случае 72°),
- \(\pi\) — математическая константа, примерно равная 3.14.
Подставим известные значения в формулу:
- \(r = 4\) см,
- \(\alpha = 72^\circ\).
\[ L = 2\pi \cdot 4 \cdot \frac{72}{360} \]
Теперь давайте упростим выражение:
Вычислим \( \frac{72}{360} \): \[ \frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 0.2 \]
Теперь подставим это значение в формулу для длины дуги: \[ L = 2\pi \cdot 4 \cdot 0.2 \]
Умножим: \[ L = 2 \cdot 4 \cdot 0.2 \cdot \pi = 1.6\pi \]
Приблизительно: \[ L \approx 1.6 \cdot 3.14 \approx 5.024 \text{ см} \]
Таким образом, длина дуги окружности составляет примерно 5.024 см.
2. Вычисление площади кругового сектора
Площадь \(S\) кругового сектора можно вычислить по формуле:
\[ S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \]
Подставим известные значения:
- \(r = 4\) см,
- \(\alpha = 72^\circ\).
\[ S = \pi \cdot (4^2) \cdot \frac{72}{360} \]
Теперь давайте работать с выражением:
Вычислим \(4^2 = 16\).
Подставим это значение в формулу: \[ S = \pi \cdot 16 \cdot \frac{72}{360} \]
Как мы уже вычисляли, \(\frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 0.2\).
Теперь продолжаем: \[ S = \pi \cdot 16 \cdot 0.2 = 3.2\pi \]
- Приблизительно: \[ S \approx 3.2 \cdot 3.14 \approx 10.05 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь кругового сектора составляет примерно 10.05 см².
Подводим итог:
- Длина дуги окружности: приблизительно 5.024 см.
- Площадь кругового сектора: приблизительно 10.05 см².
