В кабинете химии установлен проектор, с помощью которого учитель показывает на уроках ученикам различные презентации и видеоматериалы. Проектор полностью освещает настенный экран высотой 89 см, расположенный на расстоянии 2,2 м от него. Отношение ширины экрана к высоте (формат экрана) равно 16 : 9. Данный экран пришёл в негодность, поэтому был приобретён новый экран, того же формата, но высотой 114 см, который установили на исходное место взамен старого. Требуется переустановить проектор. На каком наименьшем расстоянии от нового настенного экрана необходимо установить проектор при его неизменных настройках, чтобы экран был полностью освещён? Запишите свой ответ в виде числа. Ответ дайте в метрах, округлив его до десятых

Для решения задачи используем соотношение между высотой экрана и расстоянием до проектора. Поскольку проектор освещает экран, которое имеет определенное соотношение ширины и высоты, можем написать пропорцию. 1. **Определение ширины старого экрана:** Формат экрана — 16:9. Это значит, если высота \(h\) экрана равна 89 см, то его ширина \(w\) будет определяться по формуле: \[ w = h \times \left(\frac{16}{9}\right) = 89 \times \frac{16}{9} \approx 158.22 \text{ см} \] 2. **Определение ширины нового экрана:** Теперь рассчитаем ширину нового экрана, высота которого 114 см: \[ w_{\text{новый}} = 114 \times \left(\frac{16}{9}\right) = 114 \times \frac{16}{9} \approx 202.67 \text{ см} \] 3. **Находим коэффициент увеличения высоты экрана:** Теперь найдем, насколько увеличилась высота при переходе на новый экран: \[ k = \frac{h_{\text{новый}}}{h_{\text{старый}}} = \frac{114}{89} \approx 1.28 \] 4. **Находим новое расстояние до проектора:** Раз расстояние, на котором проектор освещает экран, пропорционально высоте экрана, новое расстояние \(d_{\text{новый}}\) можно найти по формуле: \[ d_{\text{новый}} = d_{\text{старый}} \times k = 2.2 \times 1.28 \approx 2.82 \text{ м} \] 5. **Округляем ответ:** Округляем полученное значение до десятых: \[ d_{\text{новый}} \approx 2.8 \text{ м} \] Таким образом, наименьшее расстояние, на котором необходимо установить проектор от нового настенного экрана, равно **2.8 метра**.