Определите количество 12-ричных пятизначных чисел, в записи которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающим 8

Для решения задачи, давайте определим, что такое 12-ричное пятизначное число. Это число может содержать цифры от 0 до 11, где 10 и 11 обычно обозначаются через A и B соответственно. Однако в данной задаче мы будем работать с числами от 0 до 11 без замены.

Шаг 1: Определяем условия

1. Пятизначное число: Первой цифрой не может быть 0. Следовательно, первые цифры могут быть от 1 до 11.
2. Ровно одна цифра 7: В числе должна быть одна и только одна цифра, равная 7.
3. Не более трех цифр, превышающих 8: В 12-ричной системе числа, превышающие 8, — это 9, 10 (A) и 11 (B).

Шаг 2: Подсчет комбинаций

1. Выбираем позицию для цифры 7

Пятизначное число имеет 5 позиций, где может располагаться цифра 7. Пусть цифра 7 будет занимать одну из этих позиций. Обозначим количество позиций, где может находиться цифра 7 как \( P_7 = 5 \).

2. Выбираем остальные цифры

После того как мы поместили 7, у нас остается 4 позиции. Нам нужно заполнить эти позиции, следуя условиям:

• Не более 3 цифр с числовым значением, превышающим 8: возможные цифры в строке — это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (9), 10 (A) (10), 11 (B) (11).

Давайте обозначим количество цифр, превышающих 8, как \( x \). Тогда \( x \) может принимать значения 0, 1, 2 или 3, но при этом сумма цифр в оставшихся позициях не должна превышать \( 4 - x \).

3. Рассмотрим разные случаи для \( x \):

• Случай 0 (Нет цифр > 8):

  • Остальные 4 цифры — это {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Для первой позиции 0 не подходит.
  • Первую цифру можно выбрать из {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (8 вариантов).
  • Остальные 3 цифры могут быть выбраны из {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (9 вариантов на каждую).
  • Итого: \( 8 \times 9^3 \)

• Случай 1 (1 цифра > 8):

  • Выбираем одну позицию для цифры > 8 (9, A или B) — 4 варианта (поскольку одна позиция занята 7).
  • Первую оставшуюся позицию можно заполнить из {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — 8 вариантов.
  • Другие две — из {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — 9 вариантов на каждую.
  • Итого: \( 4 \times 3 \times 8 \times 9^2 \) (где 3 — количество оставшихся позиций)

• Случай 2 (2 цифры > 8):

  • Выбираем 2 позиции для цифр > 8 — \( C(4, 2) \).
  • Заполняем одну из оставшихся позиций из {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — 8 вариантов.
  • Последняя — {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — 9 вариантов.
  • Итого: \( C(4, 2) \times 8 \times 9 \)

• Случай 3 (3 цифры > 8):

  • Выбираем 3 позиции для цифр > 8 — \( C(4, 3) \).
  • Последняя позиция — {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — 8 вариантов.
  • Итого: \( C(4, 3) \times 8 \)

Шаг 3: Суммируем случаи

Общая формула для количества таких чисел будет:

\[ \text{Общее количество} = P_7 \times (8 \times 9^3 + 4 \times 3 \times 8 \times 9^2 + C(4, 2) \times 8 \times 9 + C(4, 3) \times 8) \]

Теперь подставляем значения \( C(4, 2) = 6 \) и \( C(4, 3) = 4 \):

\[ \text{Общее количество} = 5 \times (8 \times 729 + 12 \times 8 \times 81 + 6 \times 8 \times 9 + 4 \times 8) \]

Вычисляем:

• \( 8 \times 729 = 5832 \)
• \( 12 \times 8 \times 81 = 9728 \)
• \( 6 \times 8 \times 9 = 432 \)
• \( 4 \times 8 = 32 \)

Теперь подставим в уравнение:

\[ 5 \times (5832 + 9728 + 432 + 32) = 5 \times 16024 = 80120 \]

Ответ:

Количество 12-ричных пятизначных чисел, в записи которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающим 8, равно 80,120.