В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 200, 300, 400, 500 и 600 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 422 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 200, 300, 400, 500 и 600 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 422 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 600 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 430 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Цены акций: 200, 300, 400, 500, 600 рублей.
- Средняя цена до покупки последней акции = 422 рубля.
- После покупки акций за 600 рублей средняя цена не достигла 430 рублей.
Понять среднюю цену: Средняя цена акций рассчитывается следующим образом:
\[ \text{Средняя цена} = \frac{\text{Сумма всех акций}}{\text{Количество акций}} \]
Обозначим количество акций до покупки последнего (шестого) за \( n \).
Сумма акций до покупки последней:
\[ S = 200 + 300 + 400 + 500 + 600 = 2000 \text{ рублей} \]
Если у акционера было \( n \) акций, то:
\[ \frac{2000}{n} = 422 \]
Умножим обе части на \( n \):
\[ 2000 = 422n \implies n = \frac{2000}{422} \approx 4.73 \]
Это значит, что \( n \) может принимать значение 4 – если округлить вниз, поскольку количество акций нельзя представить дробным.
Сумма акций и проверка: Если у Б. было 4 акции, то:
\[ \text{Средняя цена} = \frac{200 + 300 + 400 + 500}{4} = \frac{1400}{4} = 350 \text{ рублей (что неправильно)}. \]
Если у Б. было 5 акций, то:
\[ \text{Средняя цена} = \frac{200 + 300 + 400 + 500 + 600}{5} = \frac{2000}{5} = 400 \text{ рублей (что тоже неправильно)}. \]
Далее мы можем выяснить, какое число акций (большое и большее 5) даст нам правильные результаты. Проверяем \( n \):
Поскольку 422 рубля - это средняя цена, первая попытка с субсуммой:
Обозначим, что сумма акций перед покупкой – это \( S \), где \( S = 2000 \) и \( n \) акций:
\[ 422n = 2000 \implies n = \frac{2000}{422} \approx 4.73 \implies n = 5 \text{ (всё еще вызывает вопрос)} \]
Добавление последней акции: После покупки 6-й акции за 600 рублей:
\[ \text{Новая средняя цена} = \frac{2000 + 600}{n + 1} = \frac{2600}{n +1} \]
Для того чтобы не достигнуть 430 рублей:
\[ \frac{2600}{n + 1} < 430 \implies 2600 < 430(n + 1) \]
Преобразуем неравенство:
\[ 2600 < 430n + 430 \]
\[ 2170 < 430n \]
\[ n > \frac{2170}{430} \approx 5.05 \]
То есть \( n \geq 6 \).
Заключение: Если акционер Б. до последней покупки акций имел 6 акций, то это самое меньшее количество, которое выполнит все условия задачи.
Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у Б. до покупки последней акции — 6.
