Для решения задачи о смешивании растворов соляной кислоты давайте обозначим необходимые переменные и проведем шаг за шагом анализ.
Обозначения:
- Пусть в первом сосуде содержится ( x ) кг соляной кислоты.
- Пусть во втором сосуде содержится ( y ) кг соляной кислоты.
Из условия задачи мы знаем две важные вещи о растворах и их концентрации.
- Смешение в разных пропорциях:
- Первый сосуд: 15 кг раствора, концентрация — ( \frac{x}{15} ).
- Второй сосуд: 10 кг раствора, концентрация — ( \frac{y}{10} ).
При смешивании двух сосудов получаем раствор, содержащий 68% кислоты. Это можно записать уравнением:
[
\frac{x + y}{15 + 10} = 0,68
]
Умножим обе части уравнения на 25:
[
x + y = 0,68 \times 25 = 17
]
- Смешение равных масс:
Если мы перемешаем равные массы из каждого сосуда, то для простоты возьмем по 1 кг из каждого сосуда:
- Из первого сосуда: 1 кг содержит ( \frac{x}{15} ) кг кислоты.
- Из второго сосуда: 1 кг содержит ( \frac{y}{10} ) кг кислоты.
Попробуем записать уравнение для 70% раствора:
[
\frac{\frac{x}{15} + \frac{y}{10}}{1 + 1} = 0,70
]
Умножим обе части уравнения на 2:
[
\frac{x}{15} + \frac{y}{10} = 1.4
]
Теперь преобразуем это уравнение. Умножаем его на 30 (наименьшее общее кратное знаменателей 15 и 10):
[
2x + 3y = 42
]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- ( x + y = 17 ) (1)
- ( 2x + 3y = 42 ) (2)
Теперь решим систему. Из уравнения (1) выразим ( y ):
[
y = 17 - x
]
Подставим ( y ) в уравнение (2):
[
2x + 3(17 - x) = 42
]
Раскроем скобки:
[
2x + 51 - 3x = 42
]
Соберем все x в одну часть:
[
Преобразуем:
[
x = 51 - 42
]
[
x = 9
]
Теперь подставим значение ( x ) обратно в уравнение для ( y ):
[
y = 17 - 9 = 8
]
Ответ:
- В первом сосуде содержится 9 кг стопроцентной соляной кислоты.
- Во втором сосуде содержится 8 кг стопроцентной соляной кислоты.
Таким образом, 9 кг — это искомый результат в первой части вопроса.
