М (-3:0) N (0:9) составить уравнение окружности проходящей через точки м и н

Чтобы составить уравнение окружности, проходящей через заданные точки \(M(-3, 0)\) и \(N(0, 9)\), следуем пошаговым инструкциям:

Шаг 1: Находим центр окружности

Для начала найдем середину отрезка \(MN\), который будет являться центром окружности. Середина отрезка определяется как:

\[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

Где:

• \((x_1, y_1)\) — координаты точки \(M\) (то есть \(M(-3, 0)\))
• \((x_2, y_2)\) — координаты точки \(N\) (то есть \(N(0, 9)\))

Подставим значения:

\[ C\left(\frac{-3 + 0}{2}, \frac{0 + 9}{2}\right) = \left(\frac{-3}{2}, \frac{9}{2}\right) \]

Таким образом, центр окружности \(C\) имеет координаты \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

Шаг 2: Находим радиус окружности

Радиус \(R\) окружности равен расстоянию от центра окружности \(C\) до одной из точек \(M\) или \(N\). Мы возьмем точку \(M\). Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) можно вычислить по формуле:

\[ R = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Подставим координаты центра \(C\) и точки \(M\):

• \(x_1 = -\frac{3}{2}\), \(y_1 = \frac{9}{2}\) (координаты центра)
• \(x_2 = -3\), \(y_2 = 0\) (координаты точки \(M\))

Теперь вычисляем радиус:

\[ R = \sqrt{\left(-3 - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 + \left(0 - \frac{9}{2}\right)^2} \]

Упрощаем вычисления:

\[ R = \sqrt{\left(-3 + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{9}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{6}{2} + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{9}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{9}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{90}{4}} = \sqrt{\frac{45}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \]

Шаг 3: Записываем уравнение окружности

Уравнение окружности, заданной центром \(C(a, b)\) и радиусом \(R\), имеет вид:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \]

Подставляем найденные значения:

• \(a = -\frac{3}{2}\)
• \(b = \frac{9}{2}\)
• \(R = \frac{3\sqrt{10}}{2}\)

Уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[ \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(\frac{3\sqrt{10}}{2}\right)^2 \]

Вычисляем \(R^2\):

\[ R^2 = \left(\frac{3\sqrt{10}}{2}\right)^2 = \frac{9 \cdot 10}{4} = \frac{90}{4} = \frac{45}{2} \]

Тогда окончательное уравнение окружности:

\[ \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{9}{2}\right)^2 = \frac{45}{2} \]

Вот и все! Теперь мы составили уравнение окружности, проходящей через точки \(M\) и \(N\).