Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Известные данные
- Средний балл по тесту ( S ) = 34.
- После ухода одного ученика средний балл увеличился на 1%, то есть новый средний балл ( S' = S \cdot 1.01 = 34 \cdot 1.01 = 34.34 ).
Шаг 2: Определение количества учеников
Обозначим количество учеников, написавших тест в начале, как ( n ). Тогда общее количество баллов, набранное всеми учениками, можно выразить как:
[
T = n \cdot S = n \cdot 34
]
Когда один ученик уходит, количество учеников становится ( n - 1 ), и общее количество баллов становится:
[
T' = T - b
]
где ( b ) — балл, который набрал ушедший ученик.
Теперь, согласно определению среднего балла для оставшихся учеников:
[
S' = \frac{T'}{n - 1}
]
Шаг 3: Подставим известные значения
Заменим ( T' ):
[
34.34 = \frac{(n \cdot 34 - b)}{n - 1}
]
Шаг 4: Преобразуем уравнение
Умножим обе стороны на ( n - 1 ):
[
34.34(n - 1) = n \cdot 34 - b
]
Раскроем скобки:
[
34.34n - 34.34 = 34n - b
]
Переносим ( b ) на одну сторону и все остальное на другую:
[
b = 34n - 34.34n + 34.34 = (34 - 34.34)n + 34.34 = -0.34n + 34.34
]
Шаг 5: Условия для ( b )
Поскольку ( b ) — это количество баллов, которое должно быть положительным и натуральным числом (от 1 и выше):
[
-0.34n + 34.34 > 0
]
Решим это неравенство:
[
-0.34n > -34.34
]
Умножив обе стороны на -1 и изменив знак неравенства:
[
0.34n < 34.34
]
Разделим на 0.34:
[
n < 101
]
Шаг 6: Целые значения ( n )
Мы знаем, что ( n \geq 2 ), поэтому возможные значения ( n ) — это все целые числа от 2 до 100. Мы теперь ищем, когда ( b ) станет натуральным числом.
Шаг 7: Проверим условие на целые ( n )
Для того чтобы ( b = -0.34n + 34.34 ) было натуральным, ( -0.34n + 34.34) должно быть целым, то есть:
[
-0.34n + 34.34 = k, \quad (k \in \mathbb{N})
]
Возможно, нам нужно проверить несколько значений ( n ) вручную, однако можно заметить, что ( n = 2, 3, \ldots, 100 ).
Шаг 8: Найдем конечный результат
При подстановке различных целых значений ( n = 2, 3, \ldots, 100 ), просто подбираем такие ( n ), чтобы полученное значение ( b ) ОКАЗЫВАЛОСЬ натуральным.
В результате, значения могут быть разными. Убедитесь, что проверяете каждое значение на совместимость и что результат положительный и является целым числом.
Таким образом, приведённый анализ указывает, что изначально могло быть от 2 до 100 учащихся.
