Найти первообразную 4/x^5-(1-2x)^3

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \frac{4}{x^5} - (1 - 2x)^3 \), мы можем разделить задачу на две части и найти первообразные каждой из них отдельно. ### Шаг 1: Найти первообразную \( \frac{4}{x^5} \) Мы можем переписать \( \frac{4}{x^5} \) в виде \( 4x^{-5} \). Для нахождения первообразной используем правило для интегрирования степенной функции: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1) \] Здесь \( n = -5 \). Применив формулу, мы получаем: \[ \int 4x^{-5} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C_1 = -\frac{4}{4x^4} + C_1 = -\frac{1}{x^4} + C_1 \] ### Шаг 2: Найти первообразную \( -(1 - 2x)^3 \) Для нахождения первообразной второго слагаемого, сначала раскрываем скобки: \[ (1 - 2x)^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3 \] Теперь функция \( -(1 - 2x)^3 \) равна: \[ -1 + 6x - 12x^2 + 8x^3 \] Теперь находим первообразную для каждого слагаемого: \[ \int (-1) \, dx = -x + C_2 \] \[ \int 6x \, dx = 3x^2 + C_3 \] \[ \int -12x^2 \, dx = -4x^3 + C_4 \] \[ \int 8x^3 \, dx = 2x^4 + C_5 \] Сложим все полученные первообразные: \[ -x + 3x^2 - 4x^3 + 2x^4 + C \] ### Шаг 3: Сложить все части вместе Теперь мы можем сложить первообразные, которые мы нашли: \[ \int f(x) \, dx = -\frac{1}{x^4} + (-x + 3x^2 - 4x^3 + 2x^4) + C \] Упрощая это: \[ \int f(x) \, dx = -\frac{1}{x^4} - x + 3x^2 - 4x^3 + 2x^4 + C \] ### Итог Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{4}{x^5} - (1 - 2x)^3 \) равна: \[ \boxed{-\frac{1}{x^4} - x + 3x^2 - 4x^3 + 2x^4 + C} \] Где \( C \) — константа интегрирования.