Найти первообразную 4/x^5-(1-2x)^3

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \frac{4}{x^5} - (1 - 2x)^3 \), мы можем разделить задачу на две части и найти первообразные каждой из них отдельно.

Шаг 1: Найти первообразную \( \frac{4}{x^5} \)

Мы можем переписать \( \frac{4}{x^5} \) в виде \( 4x^{-5} \). Для нахождения первообразной используем правило для интегрирования степенной функции:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1) \]

Здесь \( n = -5 \). Применив формулу, мы получаем:

\[ \int 4x^{-5} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C_1 = -\frac{4}{4x^4} + C_1 = -\frac{1}{x^4} + C_1 \]

Шаг 2: Найти первообразную \( -(1 - 2x)^3 \)

Для нахождения первообразной второго слагаемого, сначала раскрываем скобки:

\[ (1 - 2x)^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3 \]

Теперь функция \( -(1 - 2x)^3 \) равна:

\[ -1 + 6x - 12x^2 + 8x^3 \]

Теперь находим первообразную для каждого слагаемого:

\[ \int (-1) \, dx = -x + C_2 \] \[ \int 6x \, dx = 3x^2 + C_3 \] \[ \int -12x^2 \, dx = -4x^3 + C_4 \] \[ \int 8x^3 \, dx = 2x^4 + C_5 \]

Сложим все полученные первообразные:

\[ -x + 3x^2 - 4x^3 + 2x^4 + C \]

Шаг 3: Сложить все части вместе

Теперь мы можем сложить первообразные, которые мы нашли:

\[ \int f(x) \, dx = -\frac{1}{x^4} + (-x + 3x^2 - 4x^3 + 2x^4) + C \]

Упрощая это:

\[ \int f(x) \, dx = -\frac{1}{x^4} - x + 3x^2 - 4x^3 + 2x^4 + C \]

Итог

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{4}{x^5} - (1 - 2x)^3 \) равна:

\[ \boxed{-\frac{1}{x^4} - x + 3x^2 - 4x^3 + 2x^4 + C} \]

Где \( C \) — константа интегрирования.