Для лаборатории исследовательского центра необходимо купить медицинскую посуду. Мензурка стоит 180 рублей, а пробирка - 140 рублей. Для покупки выделено всего 4950 рублей и есть дополнительное условие: число пробирок не должно отличаться от числа мензурок больше, чем на пять. Какое наибольшее число единиц медицинской посуды можно купить при таких условиях?

Для решения этой задачи давайте введем переменные: - Обозначим \(x\) — количество мензурок. - Обозначим \(y\) — количество пробирок. Имеем следующие данные: - Стоимость мензурки: 180 рублей. - Стоимость пробирки: 140 рублей. - Общий бюджет: 4950 рублей. - Условие на количество посуды: \(|x - y| \leq 5\). Теперь мы можем записать систему уравнений и неравенств, описывающих условия задачи: 1. Бюджетное ограничение: \[ 180x + 140y \leq 4950 \] 2. Условие на количество: \[ |x - y| \leq 5 \] Это условие можно разложить на два неравенства: \[ x - y \leq 5 \] \[ y - x \leq 5 \] Теперь мы можем решить эти уравнения: ### Шаг 1: Найдем линейные ограничения Сначала преобразуем бюджетное уравнение: \[ 180x + 140y \leq 4950 \] ### Шаг 2: Подсчитаем максимальное количество посуды Мы будем стремиться максимизировать общее количество посуды, которое можно записать как: \[ z = x + y \] Используем метод подстановки на основе условий. ### Шаг 3: Распишем условия на количество Из условий имеем: - Если \(x - y \leq 5\), то \(x \leq y + 5\). - И если \(y - x \leq 5\), то \(y \leq x + 5\). ### Шаг 4: Подставим выражения в ограничение Подставляем \(y = x + k\), где \(-5 \leq k \leq 5\). Теперь подставим в бюджетное ограничение \(y\): \[ 180x + 140(x+k) \leq 4950 \] Раскроем скобки: \[ 180x + 140x + 140k \leq 4950 \] \[ 320x + 140k \leq 4950 \] ### Шаг 5: Найдем целочисленные решения Теперь нам нужно рассмотреть возможные значения \(k\) от \(-5\) до \(5\) и подставить их для нахождения максимального \(z = x + y\). #### Пример: 1. Для \(k = 0\): \[ 320x \leq 4950 \implies x \leq \frac{4950}{320} \approx 15.47 \implies x \leq 15 \] Тогда \(y = 15\) и получаем \(z = 30\). 2. Для \(k = 5\): \[ 320x + 700 \leq 4950 \implies 320x \leq 4250 \implies x \leq \frac{4250}{320} \approx 13.28 \implies x \leq 13 \] Тогда \(y = 18\) и \(z = 31\) (так как \(x = 13\), \(y = 18\)). 3. Для \(k = -5\): \[ 320x - 700 \leq 4950 \implies 320x \leq 5650 \implies x \leq \frac{5650}{320} \approx 17.66 \implies x \leq 17 \] Тогда \(y = 12\) и \(z = 29\). ### Шаг 6: Оптимальные найденные числа Таким образом, наибольшее количество, которое можно приобрести, составляет: \[ \max(30, 31, 29) = 31 \text{ единиц} \] ### Ответ Максимальное количество единиц медицинской посуды, которое можно купить при заданных условиях — **31 единица**.